Steigung einer Geraden < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Sa 01.04.2006 | | Autor: | Pure |
| Aufgabe | | Welche Steigung m muss eine Gerade durch den Koordinatenursprung haben, damit sie mit dem Schaubild von f(x)= [mm] x^{2} [/mm] eine Fläche mit dem Flächeninhalt [mm] 10\bruch{2}{3} [/mm] einschließt? |
Hallo alle zusammen!
Ich lerne also gerade für die nächste Klausur und bin auf die Aufgabe hier gestoßen. Das Ergebnis weiß ich, weil wir die Lösungen von ein paar Seiten im Buch von unserer Lehrerin bekommen haben. Aber ich verstehe nicht, wie man auf die Lösung kommt. Ich schreib sie eben mal:
Gerade g(x)=mx
Schnittpunkte mit f(x): P(0/0), [mm] Q(m/m^{2})
[/mm]
g(x)>f(x) für 0<x<m
| [mm] \integral_{0}^{m}{(mx-x^{2}) dx} [/mm] |= 10 [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
m= 4 oder m= -4
Meine Frage ist: Wie komme ich auf den Punkt Q? Sagt man nicht normal, dass die Koordinaten x und y sind bei einemn Punkt statt m und [mm] m^{2}?
[/mm]
Bevor ich mir die Lösungen angeschaut habe, habe ich erst mal versucht, das selbst zu lösen und zwar mit diesem Weg: (dank der Lösung weiß ich jetzt auch, dass er falsch ist)
Ich dachte, ich kann erst mal den Schnittpunkt der Geraden mit f(x) mithilfe des Integrals ausrechnen. Mit dem Integral hätte ich dann den x-Wert gehabt und den dann einfach in die Funktion eingesetzt, hätte mir den y-Wert des Punktes gebracht. Dachte ich jedenfalls. Mit den Koordinaten des Schnittpunktes hätte ich dann versucht, das m weiter mit der Punktsteigungsform und vorher mit der Ableitung herauszubekommen. Hier also meine Rechnungen:
[mm] \integral_{0}^{P}{f(x) dx}= [/mm] 10 [mm] \bruch{2}{3} [/mm] --> hab ich mit dem TI nach P aufgelöst, Ergebnis: P=2,71
P in f(x) eingesetzt, mein y-Wert: y= 7,368
Also der Schnittpunkt: S(2,71/ 7,368)
An dieser Stelle wollte ich dann die Ableitung von f(x) bilden, also y'= 2x, also wäre m=2x. Und dann wäre die Punktsteigungsform gekommen.
Warum liege ich mit meinem Lösungsansatz so falsch? Und kann mir vielleicht bitte jemand die richtige Lösung (von oben) erklären? Wäre wirklich nett.
Liebe Grüße, Pure
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Sa 01.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
also zunächst ein paar Anmerkungen.
Eine Gerade, die durch den Ursprung geht (mit anderen Worten, bei der b=0 ist) hat immer die Form:
y = mx.
Schnittpunkte zweier Funktionen erhalte ich durch gleichsetzen, d.h.
g(x) = f(x)
mx = [mm] x^2 [/mm] => d.h. für x=0 erhalte ich den Schnittpunkt (0/0)
und für x=m erhalte ich den Schnittpunkt (m / [mm] m^2)
[/mm]
Die Schnittpunkte legen meine Grenzen des Intervalls der zu bestimmenden Fläche fest.
Da g(x) > f(x) gilt:
[mm] \integral_{0}^{m}{(g(x) - f(x)) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{m}{(mx - x^2) dx}
[/mm]
Stammfunktion:
[1/2 [mm] mx^2 [/mm] - 1/3 [mm] x^3]^m [/mm] = 10 2/3
0
1/2 [mm] m^3 [/mm] - 1/3 [mm] m^3 [/mm] - 0 = 32 /3
1/6 [mm] m^3 [/mm] = 32 /3
[mm] m^3 [/mm] = 64
m1,2 = [mm] \pm [/mm] 4
lg
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Sa 01.04.2006 | | Autor: | Pure |
Hi hase-hh,
danke für die Antwort. Jetzt hab ichs geblickt. Eigentlich ganz einfach im Gegensatz zu den Überlegungen, die ich vorhin noch gemacht habe, bis mir der Kopf geraucht und es mir gereicht hat 
LIebe Grüße, Pure
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