Steigung einer Tangente < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Di 05.12.2006 | | Autor: | Emilia |
| Aufgabe | Gegeben seien die Funktionen [mm] f(x)=0,5x^2-3x-1 [/mm] und xa=1
a. Berechnen Sie für h=1 die beiden Änderungsraten
[mm] ÄR_{1}=f(x_{a}+h)-f(x_{a})/h [/mm] und [mm] ÄR_{2}=f(x_{a})-f(x_{a}-h)/h
[/mm]
b. Stellen Sie f sowie [mm] ÄR_{1} [/mm] sowie [mm] ÄR_{2} [/mm] graphisch dar.
c. Berechnen Sie die Steigung der Tnagenten an den Graphen von f für [mm] x_{a}=1.
[/mm]
d. Stellen Sie in der Zeichnung von Teil c die Tangente aus Teil c graphisch dar.
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Hallöchen und guten Abend,
die Verwirrung hat wieder Besitz von mir ergriffen, denn einen bedeutenden Teil dieser wundervollen Aufgabe gelingt es mir nicht zu lösen...der da wäre....
zunächst also a hab ich ausgerechnet und für [mm] ÄR_{1}=-1,5 [/mm] und für [mm] ÄR_{2}=2,5 [/mm] herausbekommen. Teil b war auch keine große Hürde, ist mir den Göttern seis gepriesen wunderbar gelungen so glaube ich das mal zumindest, wobei die Funktion eine Parabel darstellt...
nun zu Teil c. wo die ersten Zweifel aufkommen
[mm] m_{T}=\limes_{h\rightarrow 0}(f(x_{a}+h)-f(x_{a}))/h
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0}(f(1+h)-f(1))/h
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0}((0,5*(1+h)^2-3*(1+h)-1)-(0,5*(1)^2-3*1-1))/h
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0}((0,5+1+h+0,5*h^2-3+3*h-1)-(-3,5))/h
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0}((-3,5+4*h+0,5*h^2)-(-3,5))/h
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0}(4*h+0,5h^2)/h
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0}(h+(4+0,5h))/h
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0}4+0,5h
[/mm]
Daraus ergibt sich die Steigung der Tangente an der Stelle [mm] x_{a}=1 [/mm] entspricht 4.
Meine Frage dazu......ist das richtig????
Das eigentliche Problem jedoch ist der Teil d...wie stell ich denn nun den Spass graphisch dar??? Da hört das Lichtlein der Erleuchtung nämlich auf zu leuchten, wäre nett wenn jemand helfen könnte...
grüßle und möge der Nikolaus euch reichlich beschenken
Emy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Di 05.12.2006 | | Autor: | Emilia |
Ergebnis für [mm] ÄR_2=-2,5 [/mm] hab mich vertippt und es gerade festgestellt, sorry *g*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Di 05.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben seien die Funktionen [mm]f(x)=0,5x^2-3x-1[/mm] und xa=1
>
> a. Berechnen Sie für h=1 die beiden Änderungsraten
>
> [mm]ÄR_{1}=f(x_{a}+h)-f(x_{a})/h[/mm] und
> [mm]ÄR_{2}=f(x_{a})-f(x_{a}-h)/h[/mm]
>
> b. Stellen Sie f sowie [mm]ÄR_{1}[/mm] sowie [mm]ÄR_{2}[/mm] graphisch dar.
> c. Berechnen Sie die Steigung der Tnagenten an den Graphen
> von f für [mm]x_{a}=1.[/mm]
>
> d. Stellen Sie in der Zeichnung von Teil c die Tangente aus
> Teil c graphisch dar.
>
>
> Hallöchen und guten Abend,
>
> die Verwirrung hat wieder Besitz von mir ergriffen, denn
> einen bedeutenden Teil dieser wundervollen Aufgabe gelingt
> es mir nicht zu lösen...der da wäre....
>
> zunächst also a hab ich ausgerechnet und für [mm]ÄR_{1}=-1,5[/mm]
> und für [mm]ÄR_{2}=2,5[/mm] herausbekommen. Teil b war auch keine
> große Hürde, ist mir den Göttern seis gepriesen wunderbar
> gelungen so glaube ich das mal zumindest, wobei die
> Funktion eine Parabel darstellt...
>
> nun zu Teil c. wo die ersten Zweifel aufkommen
>
> [mm]m_{T}=\limes_{h\rightarrow\0} (f(x_{a}+h)-f(x_{a}))/h[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow0}[/mm] (f(1+h)-f(1))/h
> = [mm]\limes_{h\rightarrow0} ((0,5*(1+h)^2-3*(1+h)-1)-(0,5*(1)^2-3*1-1))/h[/mm]
>
Bis hier korrekt
Hier hast du eine 1 hinzugemogelt:
> = [mm]\limes_{h\rightarrow0} ((0,5+\red{1}+h+0,5*h^2-3+3*h-1)-(-3,5))/h[/mm]
Ich fange mal weiter an.
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{(0,5(1+2h+h²)-3-3h-1)-(-3,5)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{0,5+h+0,5h²-4-3h+3,5)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{-2h+0,5h²}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}-2+0,5h
[/mm]
Das heisst, die Tangente an der Stelle [mm] x_{a}=1 [/mm] beträgt -2
> Das eigentliche Problem jedoch ist der Teil d...wie stell
> ich denn nun den Spass graphisch dar??? Da hört das
> Lichtlein der Erleuchtung nämlich auf zu leuchten, wäre
> nett wenn jemand helfen könnte...
Jetzt hast du also Den Punkt P(1/f(1)) und die Steigung m=4.
Und du weisst, das die Tangente eine Gerade der Form t(x)=mx+n ist, die durch P geht.
Du musst jetzt nur noch das f(1) bestimmen und das n der Geraden.
> grüßle und möge der Nikolaus euch reichlich beschenken
>
> Emy
>
Danke. Und hilft das weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 05.12.2006 | | Autor: | Emilia |
Die Götter sollen dich segnen, vielen Dank *gg*...allerdings kleine Verständisfrage...durch den Rechenfehler meinerseits hat sich ja nun deiner Korrekur für die Steigung m= -2 ergeben, ist das richtig? Denn die Steigung ist an sich nicht gegeben, ist das die richtige Formel, nach der ich gerechnet habe? Und ist es überhaupt die Formel für die Ermittlung der Steigung?
Grüßle
Emy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Di 05.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Julia
Die Formel ist korrekt, sonst hätte ich mich schon beschwert.  Aber keine Angst, ihr werdet in Kürze Wege kennenlernen, mit denen es deutlich einfacher wird, solch eine Aufgabe zu berechnen. (ich habe es damit nämlich kontrolliert, und "meine" -2 passen)
Und es war ja auch kein so grosser Fehler, von daher glaube ich, dass du es verstanden hast.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Di 05.12.2006 | | Autor: | Emilia |
An dieser Stelle vielen vielen Dank für die hilfreiche Antwort, ich finde es unglaublich nett, dass sich mach einer die Mühe macht, wahrhaftig zu antworten.....ich bin ja immer noch ziemlich baff *g* Ich wünsche ein fröhliches Nikolaus und nen schönen ersten Advent.
Liebe Grüßle
Emy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Emilia |
Einen wunderschönen guten Abend.
ich habe hier ein kleines Problem, ich sollte die Steigung einer Tangente ausreuchnen und diese dan grphisch darstellen...nun die Steigung hab ich ausgerecht, die da ergebe -2. Ich begreife allerdings trotz netten Andeutungen nicht wie ich den nun die Tangente darstellen muss...wäre über eine Antwort seeeeeeeehr dankbar.
Zitat:
Jetzt hast du also Den Punkt P(1/f(1)) und die Steigung m=4.
Und du weisst, das die Tangente eine Gerade der Form t(x)=mx+n ist, die durch P geht.
Du musst jetzt nur noch das f(1) bestimmen und das n der Geraden.
Hööööööööööööööööööööö? wie sit das gemeint???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Fr 08.12.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
>
> ich habe hier ein kleines Problem, ich sollte die Steigung
> einer Tangente ausreuchnen und diese dan grphisch
> darstellen...nun die Steigung hab ich ausgerecht, die da
> ergebe -2. Ich begreife allerdings trotz netten Andeutungen
> nicht wie ich den nun die Tangente darstellen muss...wäre
> über eine Antwort seeeeeeeehr dankbar.
>
> Zitat:
>
> Jetzt hast du also Den Punkt P(1/f(1)) und die Steigung
> m=4.
> Und du weisst, das die Tangente eine Gerade der Form
> t(x)=mx+n ist, die durch P geht.
> Du musst jetzt nur noch das f(1) bestimmen und das n der
> Geraden.
> Hööööööööööööööööööööö? wie sit das gemeint???
ich bleibe bei deinem beispiel. du sollst die gleichung der geraden bzw. der tangente ermitteln, die
1. durch den punkt (1 / f(1) ) geht und
2. die steigung m=4 hat.
die allgemeine geradengleichung lautet ja:
y=m*x + n
du must also nur m und n bestimmen.
m hast du ja schon (z.b. mithilfe des differenzialquotienten)
d.h. die gesuchte gleichung lautet:
y=4x + n
jetzt musst du noch n bestimmen.
wie machst du das? nun, indem du für x und y einen punkt einsetzt, der auf der geraden liegt, in deinem beispiel P(1 / f(1))
deine funktionsgleichung weiss ich im moment nicht, du musst einfach x=1
in deine funktionsgleichung einsetzen und f(1) ausrechnen. sei f(1)=-20
dann wäre
y=4x + n
-20=4*1 + n => n=-24
und damit hast du nun deine tangentengleichung bestimmt:
y=4x -24. wie gesagt ein beispiel.
t(x)=4x -24 meint exakt dasselbe.
****
und wenn dein m=-2 ist an der stelle x=1
dann
y=-2x + n
jetzt P(1/f(1)) in die gesuchte gerdengleichung einsetzen...
f(1)=-2*1 + n und dann n ausrechnen... fertig.
gruß
wolfgang
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