Steigung mittels Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Delia00 |
| Aufgabe | Gegeben sie die Funktion [mm] f(x)=5x^{2}+3x
[/mm]
a) Berechne die Steigung mittels Grenzwert
b) Wie groß ist die Steigung im Punkt [mm] x_{0}=2? [/mm] |
Hallo,
ich muss doch bei der Aufgabe folgende Gleichung verwenden:
[mm] f'(x_{0})=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}}
[/mm]
Ich versteh aber nicht, wie ich da bei a vorgehen muss.
Könnte mir bitte jemand weiterhelfen.
Delia
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Hi, Delia,
> Gegeben sie die Funktion [mm]f(x)=5x^{2}+3x[/mm]
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> a) Berechne die Steigung mittels Grenzwert
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> b) Wie groß ist die Steigung im Punkt [mm]x_{0}=2?[/mm]
> Hallo,
>
> ich muss doch bei der Aufgabe folgende Gleichung
> verwenden:
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> [mm]f'(x_{0})=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}}[/mm]
>
> Ich versteh aber nicht, wie ich da bei a vorgehen muss.
Die Regel lautet: "Einsetzen und dann durch (x - [mm] x_{0}) [/mm] kürzen!"
Also: [mm]f'(x_{0})=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{(5x^{2}+3x) - (5x_{0}^{2}+3x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
Und nun umformen, bis Du im Zähler (x - [mm] x_{0}) [/mm] ausklammern und kürzen kannst.
Wenn Du das geschafft hast, kannst Du x [mm] \to x_{0} [/mm] gehen lassen (was im Prinzip ja nichts anderes heißt als: Ersetze auch die verbleibenden x durch [mm] x_{0} [/mm] !)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Delia00 |
Hallo,
also ich setze dann ein:
[mm] f'(x_{0})=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{(5x^{2}+3x) - (5x_{0}^{2}+3x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
Löse die Klammern auf:
[mm] f'(x_{0})=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{5x^{2}+3x - 5x_{0}^{2}-3x_{0}}{x-x_{0}}
[/mm]
und jetzt muss ich ausklammern, aber da steh ich irgendwie auf dem Schlauch:
[mm] \bruch{(x-x_{0})*(5x+3+5x_{0}+3)}{x-x_{0}}
[/mm]
Irgendwie ist das glaub ich falch.
Könnte mir da jemand weiterhelfen??
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Du musst die ursprünglich gleichen Formelteile einfach ausklammern:
[mm] f'(x_{0})=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{5x^{2}+3x - 5x_{0}^{2}-3x_{0}}{x-x_{0}}
[/mm]
Ein wenig Umordnen:
= [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{5x^{2}- 5x_{0}^{2} + 3x -3x_{0}}{x-x_{0}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{5*(x^{2}- x_{0}^{2}) + 3*(x - x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
Die dritte binomische Formel erkennen:
= [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{5*(x - x_{0})*(x + x_{0}) + 3*(x - x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
Nun (x - [mm] x_{0}) [/mm] oben vollständig ausklammern:
= [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{(x - x_{0})*(5*(x + x_{0}) + 3)}{x-x_{0}}
[/mm]
Kürzen:
= [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}(5*(x [/mm] + [mm] x_{0}) [/mm] + 3)
= [mm] 10x_{0} [/mm] + 3
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 So 06.01.2008 | | Autor: | Delia00 |
Hallo,
muss ich eigentlich nun beim Aufgabenteil b [mm] x_{0}=2 [/mm] nun in die erste Ableitung einsetzen um damit die Steigung zu bestimmen??
Gruß, Delia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 So 06.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Delia!
> muss ich eigentlich nun beim Aufgabenteil b [mm]x_{0}=2[/mm] nun in
> die erste Ableitung einsetzen um damit die Steigung zu
> bestimmen??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig ...
Gruß
Loddar
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