Steigung von Niveaulinien < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Di 27.02.2007 | | Autor: | Nikky22 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion z= f(x,y) = 2 [mm] \wurzel{x} \wurzel{y} [/mm]
Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials von f
die Steigung der Niveaulinien dy/dx
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Habe noch NIE was von Niveaulinien in der Schule gehört, auch in meinen unzähligen Mathebüchern kann ich darüber nichts finden! Und nun brauche ich das Wissen darüber schon morgen!
Deswegen kann ich keine eigenen Lösungsansätze beitragen, sondern bin verzweifelt auf fremde Hilfe angewiesen!
Wie ist der Ansatz, gibts da eine Formel, wenn ja wie lautet diese?
Lieben Dank an alle, die helfen können.
Nikky
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Di 27.02.2007 | | Autor: | Nikky22 |
Hi, aber ich habe keine Ahnung wie man das totale Differential berechnet?!? Google bringt da leider auch nicht viel....
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> Hi, aber ich habe keine Ahnung wie man das totale
> Differential berechnet?!? Google bringt da leider auch
> nicht viel....
Hab' ich Dir vor 49 min. geschrieben...
Gruß v. Angela
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> Gegeben sei die Funktion z= f(x,y) = 2 [mm]\wurzel{x} \wurzel{y}[/mm]
> Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials von f
> die Steigung der Niveaulinien dy/dx
>
> Habe noch NIE was von Niveaulinien in der Schule gehört,
Hallo,
"Niveaulinien", das sind die Höhenlinien.
Du hast hier eine Abb.: [mm] \IR^2 [/mm] --> [mm] \IR,
[/mm]
das bedeutet, daß jedem Punkt der xy-Ebene eine Zahl (eine Höhe) zugeordnet wird. Du kannst Dir die Funktion also als Gebirge über der xy-Ebene vorstellen.
Willst Du die Funktionen für die Höhenlinien wissen, so mußt Du gucken, auf welchen Gebilden
f(x,y)= const. ist.
Nehmen wir die Funktion g(x,y)=x+xy.
Die Höhenlinien? c=x+xy ==> [mm] y=\bruch{c}{x}+1 [/mm] (für [mm] x\not=0)
[/mm]
Meine Höhenlinien sind hier also verschobene Hyperbeln.
Das totale Differential einer Funktion f: [mm] \IR^2 [/mm] --> [mm] \IR
[/mm]
ist der Gradient, also grad [mm] f=\vektor{f_x(x,y) \\ f_y(x,y)}
[/mm]
> Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials von f
> die Steigung der Niveaulinien dy/dx
Wie das geht, habe ich leider vergessen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:58 Mi 28.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Nikky
Niveaulinien heissen auch Hoehenlinien, und wenn du je ne gute Wanderkarte benutzt hast, kennst du sie. sie sind ein Mittel 2dimensinale Funktionen abzubilden, indem man die Linien gleicher Hoehe (z=const) in der Ebene zeichnet.
Der gradient der Funktion steht immer senkrecht auf den Hoehenlinien.
Das totale Differential ist [mm] df=\bruch{\partial f}{\partial x}*dx+\bruch{\partial f}{\partial y}*dy
[/mm]
In Richtung der Niveaulinien ist df=0 Dann kannst du [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] leicht berechnen. (Ergebnis:-y/x)
Andere Moeglichkeit: Niveaulinien stehen senkrecht auf dem Gradienten, der hat die Steigung [mm] f_y/f_x, [/mm] also die Niveaulinien die Steigung [mm] -f_x/f_y.
[/mm]
(Ich glaub nicht, dass man den grad wie angela sagte totales Differential nennt, aber um dy/dx auszurechnen ist er ja genausogut)
Gruss leduart
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> (Ich glaub nicht, dass man den grad wie angela sagte
> totales Differential nennt, aber um dy/dx auszurechnen ist
> er ja genausogut)
Hast recht!
Das war gesundes Halbwissen...
Das totale Differential df ist df= gradf * [mm] \vektor{dx \\ dy}
[/mm]
Gruß v. Angela
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