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| Aufgabe | Beweise, dass V=1/3 [mm] \* \pi \*h² \*(3\*r-h) [/mm] auch für Kugelabschnitte mit h>r gultig ist. Gehe folgendermaßen vor:
a) Wie groß ist der Rauminhalt V´des kleineren kugelabschnitts mit der Höhe h´
b) setze h´= [mm] 2\*r-h [/mm] in die Formel für V´ein
c) Bilde die Differenz V-V´ |
Hallo,
mal wieder habe ich ein Problem mit der Formelumstellung.
bisher bin ich so weit :
V´= [mm] \bruch{1}{3} \* \pi \* [/mm] (2 [mm] \* [/mm] r [mm] \* [/mm] h)² [mm] \* [/mm] ( 3 [mm] \* [/mm] r - (2 [mm] \* [/mm] r - h)
V´= [mm] \bruch{1}{3} \* \pi \* [/mm] (2 [mm] \* [/mm] r [mm] \* [/mm] h)² [mm] \* [/mm] ( r + h)
so, nun stehe ich auf dem Schlauch, ich versuche mich zwar schon geraume Zeit an dieser Formel, komme aber einfach nicht auf die vorgegebene Lösung :
V´= [mm] \bruch{1}{3} \* \pi \* (4r^3-3h^2\* r+h^2)
[/mm]
Es würde mir sehr helfen, wenn mir jemand die Umformungsschritte erklären könnte.
Da ich immer wieder mit diesen Umformungen Probleme habe bin ich auch dankbar für gute Tipps (Bücher/Internettseiten) die mir Umformungen mal gut erklären und evtl. auch Übungsaufgaben beinhalten.
Danke für eure Hilfe und Frohe Ostern euch allen
Mark
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 So 04.04.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
du hast h' nicht richtig eingesetzt:
V'= [mm] \bruch{1}{3}\*\pi*h'^{2}(3r-h')
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}\*\pi\*(2r-h)^{2}\*(3r-2r+h)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}\*\pi\*(2r-h)^{2}\*(r+h)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}\*\pi\*(4r^{2}-4rh+h^{2})\*(r+h)
[/mm]
Nun muss nur noch weiter ausmultipliziert werden, um auf die vorgegebene Lösung zu kommen. Diese lautet im übrigen
[mm] V'=\bruch{1}{3}\*\pi*(4r^{3}-3rh^{2}+ [/mm] [mm] h^{3} [/mm] )
V' kann auch wie folgt geschrieben werden:
[mm] V'=\bruch{1}{3}\*\pi*4r^{3} -\bruch{1}{3}\*\pi\*(3rh^{2}-h^{3})
[/mm]
der erste Teil ist genau das Volumen einer Kugel, im zweiten Teil wird das Volumen eines Kegelsegments abgezogen.
Ich hoffe das hilft dir erstmal weiter.
Gruß Sierra
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:54 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Windbeutel |
Vielen Dank, nun komme ich zurecht, ich hatte wohl vor allem den Einsatz der Binomischen Formel nicht gesehen :-(
Danke für deine Hilfe
Greets
Mark
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