Stetig behebbare Def.lücken < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Mathematiker,
ich beschäftige mich derzeit mit der Vorbereitung für mein mündliches Abi in Mathe und bin dabei auf eine Frage zu stetig behebbrae Definitionslücken gestoßen.
Bisher bin ich so weit, dass ich weiß, dass Definitionslücke dann entsteht, wenn Zähler und Nenner einer Funktion gleich null sind. (Wenn ich den Nenner = 0 gesetzt hab!) Das heißt jetzt aber noch nicht, dass diese Lücke eine stetig behebbare Definitionslücke ist, oder? So wie ich das sehe, muss ich dies erst beweisen, und dass mit einer Polynomdivision. Und genau da komm ich zu meinem eigentlichen Problem.
Meine Funktion war: f(x)= [mm] \bruch{x^2+3x-2}{x^2+3x+2}
[/mm]
Nachdem ich den Nenner = 0 gesetzt hab, kam als 2. lösung raus, dass x=-1 ist. Daraus folgte dann, dass sowohl Zähler als auch Nenner = 0 sind.
Also führte ich eine Polynomdivision druch [mm] (x^2-x-2/x+1) [/mm] und dabei kam raus = x-2
Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter! Wie beweis ich, dass es sich hier um eine stetig behebbare Def.lücke handelt? Ist es überhaupt eine?
Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte, damit ich meine Mathprüfung beruhigt betreten kann 
Liebe Grüßchen,
Kathrin
P.S. Ich habe diese Frage in KEINEM anderen Forum gestellte (also helft mir *g*)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Sir_E |
Hallo Kathrin01
Bei rationalen Funktion liegen Definitionslücken immer dann vor, wenn der Nenner eine Nullstelle hat. Der Zähler ist da erstmal nicht im Spiel.
Wenn aber nun die Nullstelle des Nenners gleichzeitig Nullstelle des Zählers ist, so liegt eine stetig hebbare Definitionslücke vor, denn rechtsseitiger und linksseitiger Limes sind in der Nullstelle vorhanden und stimmen überein.
Für deine Funktion gilt also folgendes:
Offenbar sind (wenn ic mich nicht verrechnet habe) Nullstellen des nenners nicht gleich der des Zählers und somit liegen keine stetig hebbaren Definitionslücken vor.
Faustregel ist also: Nullstellen von Zähler und Nenner ausrechnen, falls diese paarweise zusammenfallen, liegt eine stetig hebbare Definitionslücke vor, sonst eine sog. Unendlichkeitsstelle oder Unstetigkeitsstelle 2.Art.
Aufpassen musst du aber bei mehrfachen Nullstellen.
Bsp.
f(x) = [mm] \bruch{x-1}{(x-1)^{2}} [/mm] hier sind zwar die Nullstellen von Zähler und Nenner gleich, aber im Nenner liegt eine doppelte Nullstelle vor.
D.h.
f(x) = [mm] \bruch{x-1}{(x-1)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(x-1)}
[/mm]
Jetzt liegt natürlich bei x=1 wieder eine Unendlichkeitsstelle vor.
Ich hoffe das leuchtet irgendwie ein und ist vernünftig erklärt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Fr 09.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Kathrin01
ich bleibe auch bei den rationalen Funktionen.
Eine hebbare Definitionslücke hast Du dann, wenn man eigentlich den Funktionsgrafen über dieses kleine Loch hinweg durchzeichnen kann.
Die Lücke entsteht, weil der Nenner Null wird und damit das Ganze nicht definiert ist. Ist der Zähler nicht Null, ist alles zu Ende und die Funtkion geht an dieser Stelle nach plus/minus unendlich.
Wir der Zähler auch Null, so hat man eine Chance, dass es eine hebbare Lücke ist. Kann man Zähler und Nenner so umformulieren, dass man "die Nullstelle herauskürzen kann" und wird der Nenner dann für diese Zahl auch nicht mehr Null, (heißt die Nullstelle ist nicht mehrfach im Nenner), dann ist die Lücke hebbar.
Andersherum: Will ich als Lehrer eine Funktion mit hebbarer Nullstelle bei [mm] $x_0$ [/mm] herstellen, dann nehme ich mir eine Funktion, die bei [mm] $x_0$ [/mm] definiert ist. Dann nehme ich Zähler und Nenner mit [mm] $(x-x_0)$ [/mm] mal. Nachdem ich die Klammern in Zähler und Nenner ausmultipliziert habe, dürfen die Schüler anfangen zu suchen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Di 13.06.2006 | | Autor: | Kathrin01 |
Vielen Dank für die beiden Tipps. Ich werde mich jetzt mal damit beschäftigen und dann mal schauen, ob ich durchblick!
Viele Grüße
Kathrin
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