Stetig diff'bare Fkt. Banachra < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X := [mm] \{f \in C^1\{\IR,\IR\} | f' beschränkt\} [/mm] und [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] := |f(0)| + [mm] ||f'||_{\infty} [/mm] für alle f [mm] \in [/mm] X.
a) Zeigen Sie, dass [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] eine Norm auf X ist.
b) Beweisen Sie, dass (X, [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel) [/mm] ein Banachraum ist. |
Guten Tag,
den a) Teil habe ich bewiesen. Dort muss man ja nur die Normeigenschaften überprüfen.
Beim b) Teil habe ich bisher unten stehenden ,,Beweis". Ich möchte gerne wissen, ob das so korrekt ist.
Beweis für b)
Zu zeigen: Jede Cauchy Folge in X konvergiert.
Definiere zuerst [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{x} [/mm] := |f(x)| + [mm] \parallel [/mm] f' [mm] \parallel_{\infty} [/mm] für alle f [mm] \in [/mm] X, x [mm] \in \IR.
[/mm]
Man prüft leicht nach, dass dies eine Norm auf X ist.
Sei [mm] (f_n) \subset [/mm] X eine Cauchy Folge bzgl. [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel_{x}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] m,n [mm] \ge [/mm] N: [mm] \parallel f_n [/mm] - [mm] f_m \parallel_{x} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le |f_n(x) [/mm] - [mm] f_m(x)| [/mm] + [mm] \parallel f_{n}' [/mm] - [mm] f_{m}' \parallel_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow |f_n(x) [/mm] - [mm] f_m(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \parallel f_{n}' [/mm] - [mm] f_{m}' \parallel_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow (f_n(x)) \subset \IR [/mm] und [mm] (f_{n}') [/mm] Cauchy-Folgen
[mm] \Rightarrow (f_n(x)) [/mm] konv. punktweise gegen ein f und [mm] (f_{n}') [/mm] gleichmäßig konv.
[mm] \Rightarrow [/mm] f stetig diff'bar und f'(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}'(x) [/mm] für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
Es sind noch zwei Dinge zu zeigen: f' beschränkt und [mm] f_n \to [/mm] f für n [mm] \to \infty
[/mm]
Zeige zunächst die Beschränktheit.
Es gilt: [mm] \parallel f_{n}' [/mm] - f' [mm] \parallel_{\infty} [/mm] = [mm] \sup\limits_{x \in \IR} |f_{n}'(x) [/mm] - f'(x)| [mm] \ge |f_{n}'(x) [/mm] - f'(x)| [mm] \ge [/mm] ||f'(x)| - [mm] |f_{n}'(x)|| [/mm] für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le [/mm] |f'(x)| - [mm] |f_{n}'(x)| \le \parallel f_{n}' [/mm] - f' [mm] \parallel_{\infty}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |f'(x)| [mm] \le \parallel f_{n}' [/mm] - f' [mm] \parallel_{\infty} [/mm] + [mm] |f_{n}'(x)| \le \parallel f_{n}' [/mm] - f' [mm] \parallel_{\infty} [/mm] + [mm] \sup\limits_{x \in \IR} |f_{n}'(x)| \le \parallel f_{n}' [/mm] - f' [mm] \parallel_{\infty} [/mm] + [mm] \parallel f_{n}' \parallel_{\infty}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f' beschränkt
[mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \in [/mm] X
Bleibt noch zu zeigen, dass [mm] f_n \to [/mm] f für n [mm] \to \infty. [/mm] bzgl. [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel_{0} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel
[/mm]
Es gilt: [mm] \parallel f_{n} [/mm] - f [mm] \parallel [/mm] = [mm] |f_n(0) [/mm] - f(0)| + [mm] \parallel f_{n}' [/mm] - f' [mm] \parallel_{\infty} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N (wegen der punktweisen und gleichmäßigen Konv. von f bzw. f')
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n [/mm] = f bzgl. [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel.
[/mm]
Also ist (X, [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel) [/mm] ein Banachraum.
[mm] \Box
[/mm]
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Sa 26.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei X := [mm]\{f \in C^1\{\IR,\IR\} | f' beschränkt\}[/mm] und
> [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel[/mm] := |f(0)| + [mm]||f'||_{\infty}[/mm] für alle
> f [mm]\in[/mm] X.
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] eine Norm auf X
> ist.
>
> b) Beweisen Sie, dass (X, [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel)[/mm] ein
> Banachraum ist.
>
>
> Guten Tag,
>
> den a) Teil habe ich bewiesen. Dort muss man ja nur die
> Normeigenschaften überprüfen.
> Beim b) Teil habe ich bisher unten stehenden ,,Beweis".
> Ich möchte gerne wissen, ob das so korrekt ist.
>
> Beweis für b)
>
> Zu zeigen: Jede Cauchy Folge in X konvergiert.
>
> Definiere zuerst [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel_{x}[/mm] := |f(x)| +
> [mm]\parallel[/mm] f' [mm]\parallel_{\infty}[/mm] für alle f [mm]\in[/mm] X, x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Man prüft leicht nach, dass dies eine Norm auf X ist.
>
> Sei [mm](f_n) \subset[/mm] X eine Cauchy Folge bzgl. [mm]\parallel[/mm] *
> [mm]\parallel_{x}.[/mm]
> [mm]\Rightarrow \forall\varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm]
> m,n [mm]\ge[/mm] N: [mm]\parallel f_n[/mm] - [mm]f_m \parallel_{x}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\le |f_n(x)[/mm] - [mm]f_m(x)|[/mm] + [mm]\parallel f_{n}'[/mm] -
> [mm]f_{m}' \parallel_{\infty}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow |f_n(x)[/mm] - [mm]f_m(x)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]\parallel f_{n}'[/mm]
> - [mm]f_{m}' \parallel_{\infty}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow (f_n(x)) \subset \IR[/mm] und [mm](f_{n}')[/mm]
> Cauchy-Folgen
> [mm]\Rightarrow (f_n(x))[/mm] konv. punktweise gegen ein f und
> [mm](f_{n}')[/mm] gleichmäßig konv.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f stetig diff'bar und f'(x) =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}'(x)[/mm] für alle x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Es sind noch zwei Dinge zu zeigen: f' beschränkt und [mm]f_n \to[/mm]
> f für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> Zeige zunächst die Beschränktheit.
>
> Es gilt: [mm]\parallel f_{n}'[/mm] - f' [mm]\parallel_{\infty}[/mm] =
> [mm]\sup\limits_{x \in \IR} |f_{n}'(x)[/mm] - f'(x)| [mm]\ge |f_{n}'(x)[/mm]
> - f'(x)| [mm]\ge[/mm] ||f'(x)| - [mm]|f_{n}'(x)||[/mm] für alle x [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\le[/mm] |f'(x)| - [mm]|f_{n}'(x)| \le \parallel f_{n}'[/mm]
> - f' [mm]\parallel_{\infty}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] |f'(x)| [mm]\le \parallel f_{n}'[/mm] - f'
> [mm]\parallel_{\infty}[/mm] + [mm]|f_{n}'(x)| \le \parallel f_{n}'[/mm] - f'
> [mm]\parallel_{\infty}[/mm] + [mm]\sup\limits_{x \in \IR} |f_{n}'(x)| \le \parallel f_{n}'[/mm]
> - f' [mm]\parallel_{\infty}[/mm] + [mm]\parallel f_{n}' \parallel_{\infty}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f' beschränkt
> [mm]\Rightarrow[/mm] f [mm]\in[/mm] X
>
> Bleibt noch zu zeigen, dass [mm]f_n \to[/mm] f für n [mm]\to \infty.[/mm]
> bzgl. [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel_{0}[/mm] = [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm]
>
> Es gilt: [mm]\parallel f_{n}[/mm] - f [mm]\parallel[/mm] = [mm]|f_n(0)[/mm] - f(0)| +
> [mm]\parallel f_{n}'[/mm] - f' [mm]\parallel_{\infty}[/mm] <
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] + [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N (wegen der punktweisen und
> gleichmäßigen Konv. von f bzw. f')
>
> Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n[/mm] = f bzgl. [mm]\parallel[/mm] *
> [mm]\parallel.[/mm]
> Also ist (X, [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel)[/mm] ein Banachraum.
>
> [mm]\Box[/mm]
>
> Grüsse
Alles bestens.
FRED
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Alles klar, danke schön. :)
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Die_Suedkurve!
> Sei X := [mm]\{f \in C^1\{\IR,\IR\} | f' beschränkt\}[/mm] und
> [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel[/mm] := |f(0)| + [mm]||f'||_{\infty}[/mm] für alle
> f [mm]\in[/mm] X.
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] eine Norm auf X
> ist.
>
> b) Beweisen Sie, dass (X, [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel)[/mm] ein
> Banachraum ist.
> Beweis für b)
>
> Zu zeigen: Jede Cauchy Folge in X konvergiert.
Ja.
> Definiere zuerst [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel_{x}[/mm] := |f(x)| +
> [mm]\parallel[/mm] f' [mm]\parallel_{\infty}[/mm] für alle f [mm]\in[/mm] X, x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Man prüft leicht nach, dass dies eine Norm auf X ist.
Ja.
> Sei [mm](f_n) \subset[/mm] X eine Cauchy Folge bzgl. [mm]\parallel[/mm] *
> [mm]\parallel_{x}.[/mm]
> [mm]\Rightarrow \forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm]
> m,n [mm]\ge[/mm] N: [mm]\parallel f_n[/mm] - [mm]f_m \parallel_{x}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\le |f_n(x)[/mm] - [mm]f_m(x)|[/mm] + [mm]\parallel f_{n}'[/mm] -
> [mm]f_{m}' \parallel_{\infty}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow |f_n(x)[/mm] - [mm]f_m(x)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]\parallel f_{n}'[/mm]
> - [mm]f_{m}' \parallel_{\infty}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow (f_n(x)) \subset \IR[/mm] und [mm](f_{n}')[/mm]
> Cauchy-Folgen
Ja.
> [mm]\Rightarrow (f_n(x))[/mm] konv. punktweise gegen ein f
Nein. [mm](f_n(x))_{n\in\IN}[/mm] ist eine Folge reeller Zahlen, keine Folge von Funktionen. Daher macht es keinen Sinn von punktweiser Konvergenz gegen eine Funktion [mm]f[/mm] zu sprechen. Vielmehr konvergiert [mm](f_n(x))_{n\in\IN}[/mm] gegen eine reelle Zahl [mm]a\in\IR[/mm].
> und
> [mm](f_{n}')[/mm] gleichmäßig konv.
Ja, denn der Raum der beschränkten Funktionen [mm]\IR\to\IR[/mm] mit der Supremumsnorm ist vollständig.
(Ist euch das bekannt?)
Also konvergiert [mm](f_n')_{n\in\IN}[/mm] bezüglich der Supremumsnorm gegen eine beschränkte Funktion [mm]g\colon\IR\to\IR[/mm].
Konvergenz bezüglich Supremumsnorm bedeutet aber gleichmäßige Konvergenz.
Du musst nun aus [mm]a[/mm] und [mm]g[/mm] eine Funktion [mm]f[/mm] basteln, gegen die [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] bezüglich [mm]||\cdot||_x[/mm] konvergiert.
Tipp: Betrachte dazu mal geeignete Integrale über [mm]g[/mm].
> [mm]\Rightarrow[/mm] f stetig diff'bar
> und f'(x) =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}'(x)[/mm] für alle x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Es sind noch zwei Dinge zu zeigen: f' beschränkt und [mm]f_n \to[/mm]
> f für n [mm]\to \infty[/mm]
Und die STETIGE Differenzierbarkeit von [mm]f[/mm] ist noch kurz zu begründen.
> Zeige zunächst die Beschränktheit.
>
> Es gilt: [mm]\parallel f_{n}'[/mm] - f' [mm]\parallel_{\infty}[/mm] =
> [mm]\sup\limits_{x \in \IR} |f_{n}'(x)[/mm] - f'(x)| [mm]\ge |f_{n}'(x)[/mm]
> - f'(x)| [mm]\ge[/mm] ||f'(x)| - [mm]|f_{n}'(x)||[/mm] für alle x [mm]\in \IR[/mm]
Um überhaupt die Supremumsnorm von [mm]f_n'-f'[/mm] bilden zu können, musst du wissen, dass [mm]f_n'-f'[/mm] beschränkt ist.
Gut, das folgt für [mm]n[/mm] genügend groß aus der gleichmäßigen Konvergenz von [mm]f_n'[/mm] gegen [mm]f'[/mm].
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\le[/mm] |f'(x)| - [mm]|f_{n}'(x)| \le \parallel f_{n}'[/mm]
> - f' [mm]\parallel_{\infty}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] |f'(x)| [mm]\le \parallel f_{n}'[/mm] - f'
> [mm]\parallel_{\infty}[/mm] + [mm]|f_{n}'(x)| \le \parallel f_{n}'[/mm] - f'
> [mm]\parallel_{\infty}[/mm] + [mm]\sup\limits_{x \in \IR} |f_{n}'(x)| \le \parallel f_{n}'[/mm]
> - f' [mm]\parallel_{\infty}[/mm] + [mm]\parallel f_{n}' \parallel_{\infty}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f' beschränkt
> [mm]\Rightarrow[/mm] f [mm]\in[/mm] X
>
> Bleibt noch zu zeigen, dass [mm]f_n \to[/mm] f für n [mm]\to \infty.[/mm]
> bzgl. [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel_{0}[/mm] = [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm]
>
> Es gilt: [mm]\parallel f_{n}[/mm] - f [mm]\parallel[/mm] = [mm]|f_n(0)[/mm] - f(0)| +
> [mm]\parallel f_{n}'[/mm] - f' [mm]\parallel_{\infty}[/mm] <
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] + [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N (wegen der punktweisen und
> gleichmäßigen Konv. von f bzw. f')
>
> Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n[/mm] = f bzgl. [mm]\parallel[/mm] *
> [mm]\parallel.[/mm]
> Also ist (X, [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel)[/mm] ein Banachraum.
>
> [mm]\Box[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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