Stetig ergänzbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Fr 28.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Hab mal eine Frage zu einer Aufgabe, die sich mit der stetigen Ergänzbarkeit befasst.
Erstmal gefragt: Ist "stetig ergänzbar" und "stetig fortsetzbar" dasselbe?
Nun zur Aufgabe:
Die Funktion ist stückweise definiert.
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{sin(|\pi -x|)}{x-\pi}, & \mbox{für } x \not= \pi \\ -1, & \mbox{für } x = \pi \end{cases}
[/mm]
So, man soll jetzt die stetige Ergänzbarkeit an der Stelle x = [mm] \pi [/mm] untersuchen.
Man macht das doch, indem man überprüft, ob der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert der Stelle x = [mm] \pi [/mm] gleich sind. Wenn ja, müsste die Funktion an dieser Stelle stetig ergänzbar sein.
Nur WIE mache ich das? Ich habe die Lösung vorliegen, nur möchte ich das selbst erarbeiten.
Zum Beispiel nähere ich mich jetzt einfach mal "von der linken Seite"
Dann steht da doch (wie kann man andeuten, dass man den linksseitigen Grenzwert meint?)
[mm] \limes_{x \rightarrow \pi -} \bruch{sin(|\pi -x|)}{x-\pi} [/mm]
Darf man das so schreiben?
Und wie macht man das jetzt? Danke vielmals.
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> Hallo.
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> Hab mal eine Frage zu einer Aufgabe, die sich mit der
> stetigen Ergänzbarkeit befasst.
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> Erstmal gefragt: Ist "stetig ergänzbar" und "stetig
> fortsetzbar" dasselbe?
Hallo,
ja.
>
> Nun zur Aufgabe:
>
> Die Funktion ist stückweise definiert.
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{sin(|\pi -x|)}{x-\pi}, & \mbox{für } x \not= \pi \\
-1, & \mbox{für } x = \pi \end{cases}[/mm]
>
> So, man soll jetzt die stetige Ergänzbarkeit an der Stelle
> x = [mm]\pi[/mm] untersuchen.
>
> Man macht das doch, indem man überprüft, ob der
> linksseitige und rechtsseitige Grenzwert der Stelle x = [mm]\pi[/mm]
> gleich sind. Wenn ja, müsste die Funktion an dieser Stelle
> stetig ergänzbar sein.
Ja.
> Zum Beispiel nähere ich mich jetzt einfach mal "von der
> linken Seite"
>
> Dann steht da doch (wie kann man andeuten, dass man den
> linksseitigen Grenzwert meint?)
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow \pi^{-}} \bruch{sin(|\pi -x|)}{x-\pi}[/mm]
>
> Darf man das so schreiben?
Ja.
>
> Und wie macht man das jetzt?
Jetzt kannst Du Dir überlegen, daß das dasselbe ist wie
[mm] $\limes_{x \rightarrow \pi^{-}} \bruch{sin(\pi -x)}{x-\pi}$ [/mm] ,
also ohne Betragstriche, denn in den Betragstrichen hast Du ja was Positives, wenn Du Dich [mm] \pi [/mm] von unten näherst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Fr 28.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ah ok, das verstehe ich jetzt.
Wie bestimmt man aber davon dann den Grenzwert? In der Lösung steht einfach nur, dass der -1 ist, aber wieso?
Danke nochmal.
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> Ah ok, das verstehe ich jetzt.
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> Wie bestimmt man aber davon dann den Grenzwert? In der
> Lösung steht einfach nur, dass der -1 ist, aber wieso?
Hallo,
es ist
$ [mm] \limes_{x \rightarrow \pi^{-}} \bruch{sin(\pi -x)}{x-\pi} [/mm] $ = -$ [mm] \limes_{x \rightarrow \pi^{-}} \bruch{sin(\pi -x)}{\pi-x} [/mm] $
Überleg Dir, daß das dasselbe ist wie [mm] \lim_{h\to 0^{-}}\bruch{sin(h)}{h}.
[/mm]
Dann müßtest Du auf in der VL erworbene Kenntnisse zurückgreifen können, denn
[mm] \lim_{h\to 0}\bruch{sin(h)}{h} [/mm] ist sicher irgendwann dran gewesen.
Gruß v. Angela
>
> Danke nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Fr 28.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Deine Umformung verstehe ich ;)
Ähm, ne, kam in der Vorlesung zwar nicht dran, aber könnte man das nicht mit l'Hospital machen. Denn der sin geht gegen 0 und h gegen natürlich auch gegen 0. Man bildet jeweils die Ableitung vom Zähler und Nenner. Vom Nenner ist die 1 und vom Zähler cos(h), also 1. Natürlich müsste ich das noch formal korrekt hinschreiben.
Aber der Grundgedanke ist doch ok?
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Hallo SolRakt,
> Deine Umformung verstehe ich ;)
>
> Ähm, ne, kam in der Vorlesung zwar nicht dran, aber
> könnte man das nicht mit l'Hospital machen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zum Beispiel!
> Denn der sin
> geht gegen 0 und h gegen natürlich auch gegen 0. Man
> bildet jeweils die Ableitung vom Zähler und Nenner. Vom
> Nenner ist die 1 und vom Zähler cos(h), also 1. Natürlich
> müsste ich das noch formal korrekt hinschreiben.
>
> Aber der Grundgedanke ist doch ok?
Ja, alternativ ist
[mm] $\frac{\sin(h)}{h}=\frac{\sin(h)-\sin(0)}{h-0}$
[/mm]
Wenn du hier [mm] $h\to [/mm] 0$ betrachtest, woran erinnert dich das?
Dann schaue dir aber unbedingt noch den rechtsseitigen Limes:
[mm] $\lim\limits_{x\to\pi^+}f(x)$ [/mm] an ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Fr 28.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Wenn du hier betrachtest, woran erinnert dich das?
Das erinnert mich an den Differenzenquotienten bzw. an die Ableitung, aber ich wüsste nicht, wie ich das hier anwenden würde.
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Hallo nochmal,
> > Wenn du hier betrachtest, woran erinnert dich das?
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> Das erinnert mich an den Differenzenquotienten bzw. an die
> Ableitung, aber ich wüsste nicht, wie ich das hier
> anwenden würde.
Ja, das ist der Wert der Ableitung vom Sinus an der Stelle 0, also [mm] $\cos(0)$, [/mm] und das ist $=1$
Deckt sich also mit deinem Ergebins über de l'Hôpital
Gruß
schachuzipus
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