Stetig fortsetzbar auf ganz R? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob folgende Funktion g stetig auf ganz [mm] \IR [/mm] fortgesetzt werden kann. (Rechnung!)
[mm] g:\IR\setminus [/mm] {1} [mm] \to \IR,
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] g(x) := [mm] {\bruch {x^2-1}{\wurzel[3]{x} -1}} [/mm] |
Hallo, ich habe nicht so wirklich einen Plan wie ich diese Aufgabe lösen soll. Mein Gedankengang sieht bisher wie folgt aus:
1. Die Funktion g ist im allgemeinen nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig, sie hat sozusagen ein Loch an der Stelle x=1, deshalb ist zu prüfen ob die Funktion "links und rechts" von x=1 stetig fortsetzbar ist?
2. Der Definitionsbereich hier ist D:= [mm] \IR\setminus [/mm] {1} , also [mm] [-\infty,1[\cap]1,\infty]
[/mm]
3. Für die Berechnung der Grenzwerte bekomme ich folgende Ergebnisse:
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}g(x) [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}g(x) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1}g(x) \approx [/mm] $6$ ---> habe hier testweise links von 1, x=0,99999 eingesetzt und rechts von der 1, x=1,00001. Beide Male bekomme ich 6 raus.
Heisst das nun, dass die Funktion g auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig fortsetzbar ist?
Bin mir hier total unsicher ob mein Gedankengang richtig ist und wenn ja, ob dies formal richtig ist.
Vielen Dank im Voraus
Gruß schwenker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Mi 15.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Überprüfen Sie, ob folgende Funktion g stetig auf ganz
> [mm]\IR[/mm] fortgesetzt werden kann. (Rechnung!)
>
> [mm]g:\IR\setminus[/mm] {1} [mm]\to \IR,[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] g(x) := [mm]{\bruch {x^2-1}{\wurzel[3]{x} -1}}[/mm]
> Hallo, ich habe nicht so wirklich einen Plan wie ich diese
> Aufgabe lösen soll. Mein Gedankengang sieht bisher wie
> folgt aus:
>
> 1. Die Funktion g ist im allgemeinen nicht auf ganz [mm]\IR[/mm]
> stetig, sie hat sozusagen ein Loch an der Stelle x=1,
> deshalb ist zu prüfen ob die Funktion "links und rechts"
> von x=1 stetig fortsetzbar ist?
Ja
>
> 2. Der Definitionsbereich hier ist D:= [mm]\IR\setminus[/mm] {1} ,
> also [mm][-\infty,1[\cap]1,\infty][/mm]
Ja
>
> 3. Für die Berechnung der Grenzwerte bekomme ich folgende
> Ergebnisse:
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}g(x)[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
Wozu ?
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}g(x)[/mm] = [mm]\infty[/mm]
Wozu ?
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}g(x) \approx[/mm] [mm]6[/mm] ---> habe hier
> testweise links von 1, x=0,99999 eingesetzt und rechts von
> der 1, x=1,00001. Beide Male bekomme ich 6 raus.
na ja. So ist das nicht gedacht. Zeige: [mm] \limes_{x\rightarrow 1}g(x)= [/mm] 6
Mit L'Hospital geht das ganz rasch.
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> Heisst das nun, dass die Funktion g auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig
> fortsetzbar ist?
Ja
> Bin mir hier total unsicher ob mein Gedankengang richtig
> ist und wenn ja, ob dies formal richtig ist.
S.o.
FRED
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> Vielen Dank im Voraus
> Gruß schwenker
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mi 15.09.2010 | | Autor: | schwenker |
Danke fred97 für deine Hilfe! Die Grenzwerte bei [mm] -\infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] sind also uninteressant, wir betrachten nur den Grenzwert bei x=1? Mit der Anwendung der Regel von L'Hospital sieht meine Lösung wie folgt aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}$ {\bruch {x^2-1}{\wurzel[3]{x} -1}} [/mm] $
$f(x):= [mm] x^2-1 [/mm] ----------> [mm] \limes_{x\rightarrow1} x^2-1 [/mm] = 0$
$g(x):= [mm] \wurzel[3]{x}-1 [/mm] ----------> [mm] \limes_{x\rightarrow1} \wurzel[3]{x}-1=0$
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck des Typs [mm] \bruch{0}{0}; [/mm] also gilt [mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] wenn auf der rechten Seite ein Grenzwert existiert.
$f'(x)=2x----------> [mm] \limes_{x\rightarrow1} [/mm] 2x= 2$
[mm] $g'(x)=\bruch{1}{3}x^{\bruch{-2}{3}} [/mm] ----------> [mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{1}{3}x^{\bruch{-2}{3}}= \bruch{1}{3}$
[/mm]
[mm] $\bruch{f'(x)}{g'(x)}= \bruch{2x}{\bruch{1}{3}x^{\bruch{-2}{3}}}=\bruch{2}{\bruch{1}{3}}=6 \Rightarrow\limes_{x\rightarrow 1} {\bruch {x^2-1}{\wurzel[3]{x} -1}}=6$
[/mm]
---> Die Funktion ist also auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig fortsetzbar mit dem Grenzwert 6.
War das schon alles, oder hab ich was vergessen?
Gruß
schwenker
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Sa 25.09.2010 | | Autor: | mvs |
bin Kommilitone von schwenker und muss die selbe Aufgabe machen.
Die letzte Lösung von schwenker stimmt doch nun oder?
Vielen Dank im voraus,
Gruß mvs
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> bin Kommilitone von schwenker und muss die selbe Aufgabe
> machen.
> Die letzte Lösung von schwenker stimmt doch nun oder?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Sa 25.09.2010 | | Autor: | mvs |
danke Angela
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