Stetig fortsetzen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:55 Sa 09.06.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Eine Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] sei definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{2*\wurzel{x+2}-2}{x+1}, & \mbox{für } x \mbox{ > -1} \\ \bruch{1-x^2}{x^2+3x+2}, & \mbox{für } x \mbox{ < -1} \\ a, & \mbox{für } x \mbox{ = -1} \end{cases}
[/mm]
Kann a so gewählt werden, das f auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig ist? |
Hi,
ich komme ab einem gewissen Punkt nicht mehr weiter. Ich stelle mir die Frage, ob f stetig fortsetzbar ist im Punkt x=-1.
Ich habe es einfach mal mit dem Limes versucht:
Für x < (-1):
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{1-x^2}{x^2+3x+2}\underbrace{=}_{LHopital}\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{-2x}{2x+3}=-2
[/mm]
Für x > (-1):
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{2*\wurzel{x+2}-2}{x+1} \underbrace{=}_{LHopital}\bruch{1}{\wurzel{x+2}}=1
[/mm]
Hier denke ich, muss etwas falsch sein, weil wenn ich die Funktion zeichne, geht sie gegen -2.
Und dann wäre sie stetig fortsetzbar, mit a=-2. Oder?!
Wo ist mein Denkfehler?
MfG
barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo barsch!
> Für x < (-1):
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{1-x^2}{x^2+3x+2}\underbrace{=}_{LHopital}\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{-2x}{2x+3}=-2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier erhalte ich jedoch als Grenzwert [mm] $\red{+} [/mm] \ 2$ . Du musst ja im Zähler rechnen $-2*(-1) \ = \ +2$ .
Es geht auch ohne de l'Hospital, indem Du den Nenner zerlegst in [mm] $x^2+3x+2 [/mm] \ = \ (x+1)*(x+2)$ und kürzt.
> Für x > (-1):
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{2*\wurzel{x+2}-2}{x+1} \underbrace{=}_{LHopital}\bruch{1}{\wurzel{x+2}}=1[/mm]
>
> Hier denke ich, muss etwas falsch sein, weil wenn ich die
> Funktion zeichne, geht sie gegen -2.
Dann zeichnest Du falsch. Denn ich erhalte sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch jeweils $+1_$ .
> Und dann wäre sie stetig fortsetzbar, mit a=-2. Oder?!
Nein, da rechtsseitiger und linksseitiger grenzwert nicht übereinstimmen, ist diese Funktion für kein [mm] $a\in\IR$ [/mm] stetig ergänzbar.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:32 Sa 09.06.2007 | | Autor: | barsch |
Vielen Dank.
Aber meine Vorgehensweise ist richtig?
Das beruhigt mich ja.
MfG
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo barsch!
> Aber meine Vorgehensweise ist richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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