Stetige Differenzierbarkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Do 04.02.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Sei F : [−1, 1] -> [mm] \IR [/mm] definiert durch
F(x)= [mm] x^2 sin\bruch{1}{x} [/mm] für [mm] x\not=0 [/mm] und F(x)=0 für x=0
Zeigen Sie, dass F in 0 differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar ist. |
Hallo.
Der Nachweis, dass F(x) für alle x, also auch für x=0 differenzierbar ist, ist mir klar.
Nun ist ja noch nachzuweisen, dass F' unstetig ist im Punkt a=0.
In meiner Lösung steht dann:
Wir betrachten zum Nachweis die Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] (a_n)=\bruch{1}{2n\pi} \forall [/mm] n [mm] \in \IN.
[/mm]
Damit ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=0, [/mm] aber
[mm] F'(a_n)=\bruch{2}{2n\pi} sin(2n\pi)-cos(2n\pi)=-1 [/mm] => [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=-1 \not= [/mm] F'(0)
Damit ist F' unstetig im Punkt a=0, also ist F im Punkt a=0 nicht stetig diffbar.
Meine Frage dazu: Wie komme ich auf dieses Vorgehen mit der Folge? Das versteh ich nicht, kommt aber bei solchen Aufgaben öfters dran? Woher weiß ich, dass ich F' von einer Nullfolge betrachten muss? Und nach welchen Kriterien muss ich dieses [mm] (a_n) [/mm] auswählen?
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Hallo Marina,
> Sei F : [−1, 1] -> [mm]\IR[/mm] definiert durch
> F(x)= [mm]x^2 sin\bruch{1}{x}[/mm] für [mm]x\not=0[/mm] und F(x)=0 für
> x=0
> Zeigen Sie, dass F in 0 differenzierbar, aber nicht stetig
> differenzierbar ist.
> Hallo.
>
> Der Nachweis, dass F(x) für alle x, also auch für x=0
> differenzierbar ist, ist mir klar.
> Nun ist ja noch nachzuweisen, dass F' unstetig ist im
> Punkt a=0.
> In meiner Lösung steht dann:
> Wir betrachten zum Nachweis die Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] mit
> [mm](a_n)=\bruch{1}{2n\pi} \forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
> Damit ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=0,[/mm] aber
> [mm]F'(a_n)=\bruch{2}{2n\pi} sin(2n\pi)-cos(2n\pi)=-1[/mm] =>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=-1 \not=[/mm] F'(0)
> Damit ist F' unstetig im Punkt a=0, also ist F im Punkt
> a=0 nicht stetig diffbar.
>
> Meine Frage dazu: Wie komme ich auf dieses Vorgehen mit der
> Folge?
Na, das ist das sog. Folgenkriterium der Stetigkeit
Eine Fkt. [mm] $g:D\to\IR$ [/mm] heißt stetig in [mm] $x_0\in [/mm] D$, wenn für jede Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n\in [/mm] D$ für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] die für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert, auch [mm] $g(x_n)$ [/mm] gegen [mm] $g(x_0)$ [/mm] konvergiert.
Wenn also [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0 [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] \lim\limits_{n\to\infty}g(x_n)=g(x_0)$ [/mm] ist
Das negiert ergibt:
$g$ ist nicht stetig in [mm] $x_0\in [/mm] D$, wenn gilt:
es existiert eine Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$, [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}g(x_n)\neq g(x_0)$
[/mm]
> Das versteh ich nicht, kommt aber bei solchen
> Aufgaben öfters dran?
Da, das Kriterium ist duper, um Stetigkeit zu widerlegen, denn eine einzige Folge, die die obige Bedingung nicht erfüllt, macht die Stetigkeit kaputt
> Woher weiß ich, dass ich F' von
> einer Nullfolge betrachten muss?
Weil die kritische Stelle $a=0$ ist (in der Definition ist das a von dir das [mm] $x_0$)
[/mm]
Du suchst eine Folge [mm] $(x_n)$, [/mm] die gegen [mm] $a=x_0=0$ [/mm] konvergiert, wo aber [mm] $f'(x_n)$ [/mm] nicht gegen [mm] $f'(a)=f'(x_0)=0$ [/mm] konvergiert. ($f'(0)=0$ hattest du ja im Nachweis für die Diffbarkeit ausgerechnet.
> Und nach welchen Kriterien
> muss ich dieses [mm](a_n)[/mm] auswählen?
Das ist die Krux, da gibt es kein Patentrezept. Das ist immer etwas Frickelei und Übungssache.
Bei Sinus- und Cosinusgeschichten tut es meist irgendwas mit [mm] $\pi$, [/mm] da kommen dann die Nullstellen ins Spiel ...
Aber wie gesagt, das ist Bastelarbeit ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Fr 05.02.2010 | | Autor: | lubalu |
Alles klar. Hab ich verstanden. Vielen Dank für die verständliche Erklärung!
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