Stetige Fkt. Aussage beweisen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo, habe hier wieder mal eine Aufgabe.
Also die Aufgabe lautet:
Die Funktion f: [0,1]-> [mm] \IR [/mm] sei stetig und es gelte f(0)=f(1) .
Gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] x_{n} \in [0,1-\bruch{1}{n}] [/mm] mit
[mm] f(x_{n})=f(x_{n}+ \bruch{1}{n}) [/mm]
Beweis oder Gegenbeispiel. Also wir hatten den Zwischenwertsatz und ich glaube den kann man hier benutzen, aber ich weiß nicht wie, da ich noch nicht mal einen Ansatz habe. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Gruß
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Hallo,
nutze eine weitere Eigenschaft stetiger Funktionen auf einem Intervall: sie sind beschränkt. Ich denke, wenn der Zwischenwertsatz bekannt ist, dann diese Eigenschaft auch. Mit beiden zusammen wird es relativ einfach, die Frage ist, wie man es aufschreiben soll. Gibt es da Vorgaben?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Do 26.01.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo danke.
Also leider hatten wir keinen Satz der besagt, dass stetige Funktionen auf einem Intervall beschränkt sind. Also wir haben keine Vorgaben wie man das aufschreiben soll, solange alles logisch aufgebaut ist. Ich weiß leider immer noch nicht wie ich das machen soll.
Gruß
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Hallo Ganz,
mache dir zunächst mal anschaulich klar, dass die Behauptung stimmt. Oder hast du das schon?
Nun, um jetzt zielführend etwas raten zu können, sollte man vielleicht etwas mehr über den Hintegrund der Veranstaltung wissen, in deren Rahmen diese Aufgabe gestellt wurde. Normalerweise folgen der Zwischenwertsatz und der Satz, wonach das Bild eines geschlossenen Intervalles unter einer stetigen Funktion ebenfalls ein geschlossenes Intervall ist, in sehr dichtem zeitlichem Zusammenhang.
Wie untersucht ihr auf Stetigkeit? Reicht es aus, mit konvergenten Folgen zu argumentieren oder soll das [mm] \epsilon-\delta-Kriterium [/mm] verwendet werden?
Ist dir denn klar, was dir die Beschränktheit hier bringen würde?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 26.01.2012 | | Autor: | Ganz |
Mir ist nicht klar was die Beschränktheit bringen würde, aber ich habe nochmal nachgeschaut wir hatten das wohl schon, tut mir Leid.
Wie dürfen mit der Definition arbeiten und auch mit konvergenten Folgen.
Wir sind schon bei gleichmäßiger Stetigkeit.
Grüß
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Hallo,
nun gut: entweder, deine Funktion ist konstant, dann bist du fertig. Oder sie ist es nicht, dann besitzt sie sowohl ein globales Minimum wie auch ein globales Maximum. Mindestens eines von beiden muss im Inneren des Intervalls [0;1] liegen. Jetzt muss man für ein n nur noch [mm] x_n [/mm] so wählen, dass dieses [mm] x_n [/mm] links von dem inneren Extremum liegt, [mm] x_n+\bruch{1}{n} [/mm] jedoch rechts davon. Das muss auf Grund der Stetigkeit, wie auch der Einschränkung des Definitionsbereiches für [mm] x_n [/mm] stets möglich sein (das ist der tiefere Sinn der seltsamen oberen Schranke des Intervalls für [mm] x_n).
[/mm]
Damit bist du gedanklich fertig. Jetzt unternimm einen Versuch, das noch ein wenig formaler aufzuschreiben. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo, ich habe das jetzt versucht. Kann da einer mal drüber schauen, ob das so richtig ist:
z.zg.: Es ex. x [mm] \in [0,1-\bruch{1}{n}] [/mm] mit [mm] f(x)=f(x+\bruch{1}{n})
[/mm]
Def. g: [mm] [0,1-\bruch{1}{n}] [/mm] --> [mm] \IR [/mm] durch g(x)= [mm] f(x)-f(x+\bruch{1}{n})
[/mm]
g ist stetig, da die Zusammensetzung stetiger Fkt. stetig ist.
[mm] [0,1-\bruch{1}{n}] [/mm] ist kompakt--> g nimmt in diesem Intervall Min m und Max M an. Fallunterscheidung:
1. m=M=0 : Dann ist g(x)=0 also [mm] f(x)-f(x+\bruch{1}{n})=0 [/mm] -> [mm] f(x)=f(x+\bruch{1}{n}) [/mm]
2. m [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \not= [/mm] M : Ang. m < 0. Dann ist g(x)>0 [mm] \gdw f(x)>f(x+\bruch{1}{n}), [/mm] also [mm] f(0)>f(\bruch{1}{n})>\bruch{2}{n}>..>f(1)
[/mm]
im Widerspruch zu f(0)=f(1).
M>0 , dann ist g(x) > 0 [mm] \gdw f(x)
Aus dem ZWS folgt, dass g eine Nullstelle hat, es also ein x [mm] \in [0,1-\bruch{1}{n}] [/mm] mit g(x)=0 [mm] \gdw f(x)=f(x+\bruch{1}{n}) [/mm] geben muss.
Stimmt das so?? Das ist doch nur für ein x gezeigt, aber ich muss das soch für alle zeigen??
Gruß
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Hallo,
bis zum Beginn deiner Fallunterscheidunmg komme ich mit. Auch Punkt 1) kann ich nachvollziehen. Ab 2). steige ich aus: weshalb forderst du nicht einfach m<M?
> Stimmt das so?? Das ist doch nur für ein x gezeigt, aber
> ich muss das soch für alle zeigen??
Es soll ja auch gezeigt werden, dass es zu jedem [mm] n\in\IN [/mm] ein solches x gibt. Insofern reicht es natürlich aus, die Existenz einer solchen Stelle zu zeigen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 So 29.01.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo, ich versteh nicht wirklich wie ich das mit m<M machen soll und worauf das hinausgehen soll.
Also wie ich das damit zeigen soll.
Gruß
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Hallo,
> Hallo, ich versteh nicht wirklich wie ich das mit m<M
> machen soll und worauf das hinausgehen soll.
> Also wie ich das damit zeigen soll.
du sollst hier annehmen, dass g ein Minimum und ein Maximum besitzt. Diese Annahme ist Teil der getroffenen Fallunterscheidung. Jetzt sollst du schließen, dass daraus [mm] 0\in{[m;M]} [/mm] folgt, also eben einfach, dass g eine Nullstelle besitzt. Daher darfst du nicht von vornherein annehmen, dass m und M ungleich Null sind.
Gruß, Diophant
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