Stetige Fortsetzung bilden < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 So 23.01.2011 | | Autor: | Klempner |
| Aufgabe | Für welche [mm] x\in\IR [/mm] sind in den folgenden Funktionen definiert? Geben Sie die stetige Fortsetzung auf [mm] \IR [/mm] an, sofern dies möglich ist.
a) g(x) = [mm] \bruch{ x }{ |x| }
[/mm]
b) h(x) = [mm] \bruch{ |x-1| }{ x^2-2x+1 } [/mm] |
Hallo an euch! Ich brauche mal wieder Hilfe.
Ich geh einfach mal nach und nach die Aufgaben durch und bescheibe, was ich mir gedacht habe und dazu jeweils meine Fragen.
a) der Definitionsbereich ist meiner Meinung nach auf [mm] \IR [/mm] gegeben, nur ohne die 0.
Wenn ich jetzt den limes gegen 0 laufen lasse, habe ich zwei Fälle unterschieden.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} g(x)=\begin{cases} \bruch{ x }{ x }, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \\ \bruch{ -x }{ x }, & \mbox{für } x \mbox{ <0} \end{cases}
[/mm]
demnach würde ich die x rauskürzen und würde so auf die Grenzwerte 1 und -1 kommen. Daraus lässt sich schließen, dass die Lücke nicht zu schließen ist. Stimmt das so??
zub.)
hier ist die 1 nicht im Definitionsbereich. Wenn ich jetzt den Grenzwert wieder berechne, unterscheide ich wieder 2 Fälle:
Für x>0:
[mm] \bruch{ x-1 }{ (x-1)^2 }
[/mm]
und für x<0:
[mm] \bruch{ -(x-1) }{ (x-1)^2 } [/mm] --> hoffe das stimmt bis hier hin.
nun wollte ich den Nenner und Zähler mit x-1 kürzen. Aber das Problem ist, dass dann immernoch bei der Grenzwertbildung der Nenner 0 wird.
Könnt ihr mir vielleicht sagen, wie ich den Term umformen muss? Ich weiß, dass der Grenzwert von beiden Seiten nach [mm] +\infty [/mm] läuft.
Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 So 23.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1) ist richtig so.
2) musst du nicht x<0 und x>0 unterscheiden, sondern x-1<0 und y-1>0
dann wieder die GW, die aber gegen [mm] +\infty [/mm] und - [mm] \infty [/mm] gehen, also wieder nicht hebbar unstetig.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 So 23.01.2011 | | Autor: | Klempner |
Danke dir schon mal.
die zweite Aufgabe hab ich noch nicht ganz verstanden.
Dass ich x-1<0 betrachte ist mir klar. Aber warum y-1>0? oder war das nur ein Tippfehler?
So ganz weiß ich dann aber immernoch nicht, wie ich das aufschreibe. Weil ich ja schon irgendetwas herauskürzen muss, oder wie machst du das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 So 23.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das y war natürlich ein Tipfehler.
du kannst für alle Werte [mm] v\ne1 [/mm] kürzen und deshal die GW aus dem gekürzten bestimmen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Klempner |
hmm, also. ich schreib einfach mal wie weit ich gekommen bin. vielleicht kannst du mir meinen denkfehler erklären.
für [mm] x\ge1 [/mm] :
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1}\bruch{x-1}{(x-1)^2}
[/mm]
wenn ich kürze erhalte ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1}\bruch{1}{(x-1)}
[/mm]
wenn ich jetzt den grenzwert bilde, habe ich den Nenner wieder 0. ich weiß nicht, wie ich anders kürzen soll...
für x<1 sieht es natürlich entsprechend aus
tut mir leid, wenn ich vielleicht etwas schwer von begriff bin....
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> hmm, also. ich schreib einfach mal wie weit ich gekommen
> bin. vielleicht kannst du mir meinen denkfehler erklären.
>
> für [mm]x\ge1[/mm] :
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1}\bruch{x-1}{(x-1)^2}[/mm]
> wenn ich
> kürze erhalte ich:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1}\bruch{1}{(x-1)}[/mm]
>
> wenn ich jetzt den grenzwert bilde, habe ich den Nenner
> wieder 0. ich weiß nicht, wie ich anders kürzen soll...
Hallo,
"anders kürzen" nützt hier nichts, und es geht auch nicht.
Das liegt an der Funktion:
der limes von oben [mm] ist=\infty,
[/mm]
und links der Definitionslücke sieht's nicht großartig anders aus.
Du müßtest noch entscheiden, ob der GW dort [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] ist.
Auf jeden Fall siehst Du, daß es keinen Wert gibt, den Du bei x=1 so ergänzen kannst, daß die neue, ergänzte Funktion stetig ist.
Fazit: die Dir vorliegende Funktion hat keine stetige Fortsetzung.
Gruß v. Angela
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