Stetige Funktion n. beschränkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Sa 19.05.2018 | | Autor: | Takota |
| Aufgabe | Geg. ist eine stetige Funktion: f: [mm] \IR^n \supset [/mm] G [mm] \to \IR
[/mm]
Angenommen, die stetige Funktion f ist nicht beschränkt auf G. Dann gibt es zu jedem beliebigen k [mm] \in \IN [/mm] einen Vektor [mm] $\vec x^k \in [/mm] G $ mt der Eigenschaft [mm] |f(\vec x^k)|>k. ($\vec x^k [/mm] $ ist der k-te Folgenvektor.) |
Hallo,
ich habe in der Aufgabenstellung den Anfang eines Widerspruchsbeweises zitiert, fängt also bei "Angenommen, die ..." an.
Leider verstehe ich den Satz: "Dann gibt es zu jedem beliebigen k [mm] \in \IN [/mm] einen Vektor [mm] $\vec x^k \in [/mm] G $ mt der Eigenschaft [mm] |f(\vec x^k)|>k." [/mm] nicht.
Warum soll durch diese Annahme, der Betrag des k-ten Funktionswertses größer sein als k?
Kann mir das bitte jemand erklären?
LG
Taktoa
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Hallo Takota,
nun was bedeutet es denn per Definition, wenn eine Funktion beschränkt ist? Das habt ihr sicher definiert. Ausgehend von eurer Definition sollte schnell klar werden, was in dem von dir zitierten Satz gemeint ist. Gib' mal Rückmeldung.
Liebe Grüße,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Sa 19.05.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo ChopSuey,
danke für die Rückmeldung.
f : [mm] \IR \supset [/mm] D [mm] \to \IR [/mm]
Die Funktion f heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach unten wie nach oben beschränkt ist, das heißt wenn es ein K [mm] \in \IR [/mm] gibt, so daß |f(x)| [mm] \le [/mm] K für alle x [mm] \le [/mm] D gilt.
Hier hängt das K nicht von der Funktion ab.
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Hallo Takota,
> Hallo ChopSuey,
>
> danke für die Rückmeldung.
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> f : [mm]\IR \supset[/mm] D [mm]\to \IR[/mm]
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> Die Funktion f heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach
> unten wie nach oben beschränkt ist, das heißt wenn es ein
> K [mm]\in \IR[/mm] gibt, so daß |f(x)| [mm]\le[/mm] K für alle x [mm]\le[/mm] D
> gilt.
>
> Hier hängt das K nicht von der Funktion ab.
Genau. Übertrage die Definition doch mal auf den [mm] $\IR^n$. [/mm]
Hier stand vorher die Definition von Stetigkeit. Fred wies freundlicherweise daraufhin dass es aber darum hier garnicht geht. Siehe bitte Freds Anmerkungen. Entschuldige, bin schon einige Stunden wach 
überlege nun, warum der von dir zitierte Satz gerade beschreibt, dass die Funktion nicht beschränkt ist.
LG,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Sa 19.05.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo ChopSuey,
tut mir leid, ich bekomme den Bogen nicht gespannt
Was ich mich aber die ganze Zeit frage ist, wieso der k-te Folgenvektor eingesetzt in die Funktion und daraus den Betrag größer sein soll als k.
Die Vektorkomponenten sind ja irgendwelche Terme aus k.
Wie kommt man auf diese Behauptung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Sa 19.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ChopSuey,
>
> tut mir leid, ich bekomme den Bogen nicht gespannt
>
> Was ich mich aber die ganze Zeit frage ist, wieso der k-te
> Folgenvektor eingesetzt in die Funktion und daraus den
> Betrag größer sein soll als k.
O.k., dann probieren das mal so: ist k eine natürliche Zahl, so gibt es ein x [mm] \in [/mm] G mit ||x|| [mm] \ge [/mm] k. Wenn es ein solches x nicht gäbe, wäre f ja beschränkt.
Obiges x hängt natürlich von der Wahl von k ab. Also nennen wir es [mm] x_k.
[/mm]
Das ist schon alles.
> Die Vektorkomponenten sind ja irgendwelche Terme aus k.
>
> Wie kommt man auf diese Behauptung?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Sa 19.05.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo Fred,
habe erst jetzt gerade deinen Beitrag gelesen. Jetzt wird mir die Sache etwas klarer. Bei mir entspricht der Index im x dem k-ten Folgenglied.
Deswegen interpretiere ich es wie im anderen Diskussionsstrang angegeben. Schau mal dort bitte nach. Was meinst du dazu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Sa 19.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ChopSuey,
>
> danke für die Rückmeldung.
>
> f : [mm]\IR \supset[/mm] D [mm]\to \IR[/mm]
>
> Die Funktion f heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach
> unten wie nach oben beschränkt ist, das heißt wenn es ein
> K [mm]\in \IR[/mm] gibt, so daß |f(x)| [mm]\le[/mm] K für alle x [mm]\le[/mm] D
> gilt.
Ja, und wenn D eine Teilmenge des \ [mm] IR^n [/mm] ist, musst Du die Betragsstriche durch Normstriche ersetzen.
>
> Hier hängt das K nicht von der Funktion ab.
Das, mit Verlaub, ist Unsinn
So,nun zur Negation (ich dachte, dass Chopsuey das erledigen würde, aber er hat plötzlich von Stetigkeit geredet. ...?)
Wenn f auf D nicht beschränkt ist, so gibt es also kein K mit der obigen Eigenschaft.
zu jedem [mm] K\ge [/mm] 0 gibt es also ein [mm] x_K \in [/mm] D mit ......?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Sa 19.05.2018 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
ich habe meine Antwort eben editiert. Danke für's Aufmerksam sein. Ich hatte die Stetigkeit erst garnicht in Betracht gezogen, dachte dann, wir bräuchten sie hier. Aber du hast natürlich recht.
LG,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 19.05.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo Fred,
leider habe ich immer noch Probleme eine Verbindung zwischen der Zahl K und dem Folgenglied [mm] x_K [/mm] herzustellen. Im Moment stelle ich mir das so vor:
Ich wähle irgendeine Zahl K=3. Dann setzte ich den K-ten, also den 3ten, Folgenvektor in die Funktion ein und dessen Norm ist dann größer als die Zahl K=3. Warum ist das immer so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Sa 19.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> leider habe ich immer noch Probleme eine Verbindung
> zwischen der Zahl K und dem Folgenglied [mm]x_K[/mm] herzustellen.
> Im Moment stelle ich mir das so vor:
> Ich wähle irgendeine Zahl K=3. Dann setzte ich den K-ten,
> also den 3ten, Folgenvektor in die Funktion ein und dessen
> Norm ist dann größer als die Zahl K=3. Warum ist das
> immer so?
Die Folge [mm] (x_k) [/mm] ist doch gerade so gewählt, dass gilt [mm] ||f(x_k)|| \ge [/mm] k ist !
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