Stetiger Weg < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \alpha(t):=(tcos(1/t) [/mm] , tsin(1/t)). Zu zeigen ist, dass auf [0,1] ein stetiger Weg [mm] \alpha [/mm] mit [mm] \alpha(0) [/mm] = (0,0) definiert wird, der nicht rektifizierbar ist. |
Dass [mm] \alpha [/mm] ein stetiger Weg ist, würde ich beweisen, indem ich das Epsilon-Delta-Kriterium in Nullpunkt anwende. Und auf (0,1] ist es sowieso stetig. Ist das die richtige Idee?
Aber wie soll ich zeigen, dass es nicht rektifizierbar ist? Reicht es zu zeigen, dass die Bogenlänge von [mm] \alpha [/mm] auf [0,1] nicht endlich ist?
Wobei ich kriege hier eine endliche Länge raus.
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Hi,
die problemstelle sollte ja in t=0 liegen. Vielleicht kannst du also die laenge des weges bestimmen ueber das parameter-intervall [mm] $[\epsilon,1]$ [/mm] und zeigen, dass das gegen [mm] \infty [/mm] geht mit [mm] $\epsilon\to [/mm] 0$.
gruss
matthias
> Sei [mm]\alpha(t):=(tcos(1/t)[/mm] , tsin(1/t)). Zu zeigen ist, dass
> auf [0,1] ein stetiger Weg [mm]\alpha[/mm] mit [mm]\alpha(0)[/mm] = (0,0)
> definiert wird, der nicht rektifizierbar ist.
> Dass [mm]\alpha[/mm] ein stetiger Weg ist, würde ich beweisen,
> indem ich das Epsilon-Delta-Kriterium in Nullpunkt anwende.
> Und auf (0,1] ist es sowieso stetig. Ist das die richtige
> Idee?
> Aber wie soll ich zeigen, dass es nicht rektifizierbar
> ist? Reicht es zu zeigen, dass die Bogenlänge von [mm]\alpha[/mm]
> auf [0,1] nicht endlich ist?
> Wobei ich kriege hier eine endliche Länge raus.
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Ich habes es probiert, aber leider klappt es nicht:
[mm] \alpha'(t) [/mm] = (cos(1/t)+1/t * sin(1/t) , sin(1/t)-1/t * cos(1/t))
[mm] \integral_{\varepsilon}^{1}{||\alpha'(t)|| dx} [/mm] = [mm] \integral_{\varepsilon}^{1}{ \wurzel{2} dx} [/mm]
ja und wenn ich jetzt [mm] \varepsilon [/mm] gegen 0 streben lasse, wird das Integral nicht unendlich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Sa 09.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein [mm] |\alpa'|^2 [/mm] ist falsch, der Anteil mit [mm] 1/t^2 [/mm] fehlt.
Gruss leduart
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Danke, das war glaub ich der Fehler.
Also hätte ich folgendes Integral:
[mm] \integral_{\varepsilon}^{1}{\wurzel{1+1/t^2} dt}
[/mm]
So leicht lässt es sich aber nicht berechnen. Kann man dann vielleicht eine Abschätzung machen?
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Hallo Heureka,
> Danke, das war glaub ich der Fehler.
> Also hätte ich folgendes Integral:
> [mm]\integral_{\varepsilon}^{1}{\wurzel{1+1/t^2} dt}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So
> leicht lässt es sich aber nicht berechnen.
Ja, das ist irgendein fieses Areatangens Hyperbolicus-Biest ...
> Kann man dann
> vielleicht eine Abschätzung machen?
Ich denke, das sollte gehen, es ist ja [mm] $\frac{1}{t^2}>0$, [/mm] also [mm] $1+\frac{1}{t^2}>\frac{1}{t^2}$ [/mm] und damit [mm] $\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}>\sqrt{\frac{1}{t^2}}=\frac{1}{t}$ [/mm] für dein [mm] $t\in [/mm] (0,1]$
Also [mm] $\int\limits_{\varepsilon}^1{\sqrt{1+\frac{1}{t^2}} \ dt} [/mm] \ > \ [mm] \int\limits_{\varepsilon}^1{\frac{1}{t} \ dt}$
[/mm]
Das rechne mal aus und berechne den [mm] $\lim\limits_{\varepsilon\downarrow 0}$ [/mm] davon ...
LG
schachuzipus
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