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| Aufgabe | Wir definieren [mm] $d_{1}(x,y) \begin{cases} p^{-n(p)}, & \mbox{für } x \neq y ,x-y = \pm \produkt_{q prim}q^{n(q)} \\ 1, & 0 \mbox{für } x=y \end{cases}
[/mm]
Es ist also [mm] $d_{1}(x,y)^{-1} [/mm] = [mm] p^{n(p)}$ [/mm] ist also die größte Potenz der Primzahl p , welche die Differenz x-y teilt.
Jede Zahl $x [mm] \in \mathbb{N}_{0}$ [/mm] lässt sich eindeutig schreiben als $ x = [mm] \sum_{i=0}^{N} a_{i}p^{i}$ [/mm] mit einer gewissen Zahl $N [mm] \in \mathbb{N}_{0}$ [/mm] und gewissen Zahlen [mm] $a_{0}...a_{N} \in \{0,....p-1\}$. [/mm] Also sprechen wir von der Zifferndarstellung von x zur Basis p. Man kann auch $x = [mm] \sum_{i=0}^{\infty} a_{i}p^{i}$ [/mm] und [mm] $a_{i} [/mm] = 0$ für i>N.
Es ist also eine Abbildung [mm] $\pi_{n} [/mm] : [mm] \mathbb{N}_{0} \to \{0,...,p-1\}$ [/mm] durch [mm] $\pi_{n} [/mm] : x [mm] \mapsto a_{n}$ [/mm] (wobei [mm] $a_{n}$ [/mm] der entsprechende Koeffizient in der Zifferndarstellung ist) wohldefiniert.
Zeige: [mm] $\pi_{n}$ [/mm] ist eine stetige Funktion des metrischen Raumes [mm] $(\mathbb{N}_{0}, d_{1}) [/mm] $ auf den metrischen Raum [mm] $(\{0,...p-1\},d) [/mm] , wobei d die diskrete Metrik ist. |
Hallo,
Zuerst : Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich an die Aufgabe herangehen soll ? Entweder über die ganz normale eps-delta-Methode zur Überprüfung der Stetigkeit oder eher von der topologischen Seite?
Also klar ist, dass für [mm] $\epsilon [/mm] > 1$ der triviale Fall eintritt, da die diskrete Metrik maximalen Abstand = 1 liefert.
Also ist eigentlich nur [mm] $\epsilon \le [/mm] 1 $ zu betrachten.
vielen Dank für eure Vorschläge.
BEste Grüße
Peter_123
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Also ich versuche halt mal folgenden Ansatz:
Falls die Abbildung stetig ist muss gelten:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : [mm] \pi_{n}(U_{\delta}(b)) \subseteq U_{\epsilon}(\pi_{n}(b))$
[/mm]
Wähle man b fest und [mm] $\epsilon [/mm] < 1$ so gilt auf jeden Fall, dass [mm] $U_{\epsilon}(\pi_{n}(b)) [/mm] = [mm] \pi_{n}(b) [/mm] $ , da das Bild unter Pi ja ein Koeffizient in der Zifferndarstellung ist und somit für eine Kugel mit Radius <1 einfach der Koeffizient selbst ist.
Also finden wir auf jeden Fall ein [mm] $\delta$ [/mm] passend, damit [mm] $\pi_{n}(b) [/mm] - [mm] \pi_{n}(c)=0$, [/mm] also [mm] $b_{n} [/mm] - [mm] c_{n} [/mm] = 0$.
was meint ihr bis daher?
Wie gehts denn weiter?
Eventuell mit Wahl von [mm] $\delta [/mm] = [mm] p^{-n}$ [/mm] als Radius der Kugel , um dann zu zeigen, dass tatsächlich [mm] $b_{n} [/mm] - [mm] c_{n} [/mm] = 0$ sein muss?
Beste Grüße
Peter_123
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> Moin!
>
> > Also ich versuche halt mal folgenden Ansatz:
> >
> > Falls die Abbildung stetig ist muss gelten:
> >
> > [mm]\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \pi_{n}(U_{\delta}(b)) \subseteq U_{\epsilon}(\pi_{n}(b))[/mm]
>
> >
> > Wähle man b fest und [mm]\epsilon < 1[/mm] so gilt auf jeden Fall,
> > dass [mm]U_{\epsilon}(\pi_{n}(b)) = \pi_{n}(b)[/mm] , da das Bild
>
> Du meinst [mm]U_{\epsilon}(\pi_{n}(b)) = \{ \pi_{n}(b) \}[/mm] 
klar :)
>
> > unter Pi ja ein Koeffizient in der Zifferndarstellung ist
> > und somit für eine Kugel mit Radius <1 einfach der
> > Koeffizient selbst ist.
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Also finden wir auf jeden Fall ein [mm]\delta[/mm] passend, damit
> > [mm]\pi_{n}(b) - \pi_{n}(c)=0[/mm], also [mm]b_{n} - c_{n} = 0[/mm].
>
> Du meinst, falls [mm]c[/mm] beliebig mit [mm]c \in U_\delta(c)[/mm]?
genau richtig.
>
> Wieso geht das "auf jeden Fall"?
>
> LG Felix
>
Hmm wie in deiner anderen Frage beschrieben bräuchte ich tatsächlich teilbar durch [mm] p^{n+1} [/mm] ...
Würde ich [mm] $\delta [/mm] = [mm] p^{-n}$ [/mm] wählen ,so hätten wir dann um b den Ball [mm] $U_{\delta}(b) [/mm] = [mm] \{c \in \mathbb{N}_{0} : d_{1}(b,c) < p^{-n} \}$ [/mm] aber somit müsste
[mm] $U_{\delta}(b) [/mm] = [mm] \{c \in \mathbb{N}_{0} : d_{1}(b,c) < p^{-n} \}$ [/mm] = [mm] $U_{\delta}(b) [/mm] = [mm] \{c \in \mathbb{N}_{0} : d_{1}(b,c) < p^{-(n+1)} \}$ [/mm] gelten - dann wäre die Differenz durch [mm] p^{n+1} [/mm] teilbar .... allerdings ist mir das ad hoc nicht klar.
Beste Grüße
Peter_123
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 14.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 So 12.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wir definieren [mm]$d_{1}(x,y) \begin{cases} p^{-n(p)}, & \mbox{für } x \neq y ,x-y = \pm \produkt_{q prim}q^{n(q)} \\ 1, & 0 \mbox{für } x=y \end{cases}[/mm]
>
> Es ist also [mm]d_{1}(x,y)^{-1} = p^{n(p)}[/mm] ist also die
> größte Potenz der Primzahl p , welche die Differenz x-y
> teilt.
>
> Jede Zahl [mm]x \in \mathbb{N}_{0}[/mm] lässt sich eindeutig
> schreiben als [mm]x = \sum_{i=0}^{N} a_{i}p^{i}[/mm] mit einer
> gewissen Zahl [mm]N \in \mathbb{N}_{0}[/mm] und gewissen Zahlen
> [mm]a_{0}...a_{N} \in \{0,....p-1\}[/mm]. Also sprechen wir von der
> Zifferndarstellung von x zur Basis p. Man kann auch [mm]x = \sum_{i=0}^{\infty} a_{i}p^{i}[/mm]
> und [mm]a_{i} = 0[/mm] für i>N.
> Es ist also eine Abbildung [mm]\pi_{n} : \mathbb{N}_{0} \to \{0,...,p-1\}[/mm]
> durch [mm]\pi_{n} : x \mapsto a_{n}[/mm] (wobei [mm]a_{n}[/mm] der
> entsprechende Koeffizient in der Zifferndarstellung ist)
> wohldefiniert.
>
> Zeige: [mm]$\pi_{n}$[/mm] ist eine stetige Funktion des metrischen
> Raumes [mm]$(\mathbb{N}_{0}, d_{1})[/mm] $ auf den metrischen Raum
> [mm]$(\{0,...p-1\},d)[/mm] , wobei d die diskrete Metrik ist.
> Hallo,
>
> Zuerst : Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich an die Aufgabe
> herangehen soll ? Entweder über die ganz normale
> eps-delta-Methode zur Überprüfung der Stetigkeit oder
> eher von der topologischen Seite?
Ich würde die topologische Variante verwenden: das Urbild einer jeden offenen Menge muss offen sein.
Da du im Bild die diskrete Topologie hast, reicht es aus die Urbilder von einzelnden Punkten zu betrachten. (Da [mm] $f^{-1}(\bigcup_i A_i) [/mm] = [mm] \bigcup_i f^{-1}(A_i)$ [/mm] ist.)
Wenn du jetzt ein $d [mm] \in \{ 0, \dots, p-1 \}$ [/mm] nimmst und irgendein Elenent $x$ aus [mm] $\pi_n^{-1}(d)$, [/mm] und wenn du zu $x$ die Teilmenge der Zahlen anschaust, die modulo [mm] $p^{n+1}$ [/mm] kongruent zu $x$ sind, so kannst du schnell zeigen, dass dies bereits eine Umgebung von $x$ ist (es ist sogar ein Ball bzgl. der Metrik [mm] $d_1$).
[/mm]
LG Felix
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Hallo,
> Moin!
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> > Wir definieren [mm]$d_{1}(x,y) \begin{cases} p^{-n(p)}, & \mbox{für } x \neq y ,x-y = \pm \produkt_{q prim}q^{n(q)} \\ 1, & 0 \mbox{für } x=y \end{cases}[/mm]
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> >
> > Es ist also [mm]d_{1}(x,y)^{-1} = p^{n(p)}[/mm] ist also die
> > größte Potenz der Primzahl p , welche die Differenz x-y
> > teilt.
> >
> > Jede Zahl [mm]x \in \mathbb{N}_{0}[/mm] lässt sich eindeutig
> > schreiben als [mm]x = \sum_{i=0}^{N} a_{i}p^{i}[/mm] mit einer
> > gewissen Zahl [mm]N \in \mathbb{N}_{0}[/mm] und gewissen Zahlen
> > [mm]a_{0}...a_{N} \in \{0,....p-1\}[/mm]. Also sprechen wir von der
> > Zifferndarstellung von x zur Basis p. Man kann auch [mm]x = \sum_{i=0}^{\infty} a_{i}p^{i}[/mm]
> > und [mm]a_{i} = 0[/mm] für i>N.
> > Es ist also eine Abbildung [mm]\pi_{n} : \mathbb{N}_{0} \to \{0,...,p-1\}[/mm]
> > durch [mm]\pi_{n} : x \mapsto a_{n}[/mm] (wobei [mm]a_{n}[/mm] der
> > entsprechende Koeffizient in der Zifferndarstellung ist)
> > wohldefiniert.
> >
> > Zeige: [mm]$\pi_{n}$[/mm] ist eine stetige Funktion des metrischen
> > Raumes [mm]$(\mathbb{N}_{0}, d_{1})[/mm] $ auf den metrischen Raum
> > [mm]$(\{0,...p-1\},d)[/mm] , wobei d die diskrete Metrik ist.
> > Hallo,
> >
> > Zuerst : Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich an die Aufgabe
> > herangehen soll ? Entweder über die ganz normale
> > eps-delta-Methode zur Überprüfung der Stetigkeit oder
> > eher von der topologischen Seite?
>
> Ich würde die topologische Variante verwenden: das Urbild
> einer jeden offenen Menge muss offen sein.
>
> Da du im Bild die diskrete Topologie hast, reicht es aus
> die Urbilder von einzelnden Punkten zu betrachten. (Da
> [mm]f^{-1}(\bigcup_i A_i) = \bigcup_i f^{-1}(A_i)[/mm] ist.)
Hmm okay das ist mir klar.
>
> Wenn du jetzt ein [mm]d \in \{ 0, \dots, p-1 \}[/mm] nimmst und
> irgendein Elenent [mm]x[/mm] aus [mm]\pi_n^{-1}(d)[/mm], und wenn du zu [mm]x[/mm] die
> Teilmenge der Zahlen anschaust, die modulo [mm]p^{n+1}[/mm]
> kongruent zu [mm]x[/mm] sind, so kannst du schnell zeigen, dass dies
> bereits eine Umgebung von [mm]x[/mm] ist (es ist sogar ein Ball
> bzgl. der Metrik [mm]d_1[/mm]).
hmmm wieso zu [mm] $p^{n+1}$ [/mm] kongruent? genügt nicht zu [mm] p^{n} [/mm] ?
>
> LG Felix
>
Lg Peter_123
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Di 14.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Wenn du jetzt ein [mm]d \in \{ 0, \dots, p-1 \}[/mm] nimmst und
> > irgendein Elenent [mm]x[/mm] aus [mm]\pi_n^{-1}(d)[/mm], und wenn du zu [mm]x[/mm] die
> > Teilmenge der Zahlen anschaust, die modulo [mm]p^{n+1}[/mm]
> > kongruent zu [mm]x[/mm] sind, so kannst du schnell zeigen, dass dies
> > bereits eine Umgebung von [mm]x[/mm] ist (es ist sogar ein Ball
> > bzgl. der Metrik [mm]d_1[/mm]).
>
> hmmm wieso zu [mm]p^{n+1}[/mm] kongruent? genügt nicht zu [mm]p^{n}[/mm] ?
Das schon, aber dann ist das Bild von der Umgebung nicht mehr [mm] $\{ d \}$, [/mm] sondern [mm] $\{ 0, \dots, p-1 \}$. [/mm]
LG Felix
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