Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR^2 \mapsto \IR [/mm] gegeben durch [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not = (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
a) Bestimmen Sie sämtliche Richtungsableitungen in (0,0), falls existent!
b) Zeigen Sie, dass die Funktion in (0,0) nicht differenzierbar sein kann. |
Hallo zusammen, wir schreiben am Dienstag Ana 2 Klausur!
Ich habe die obige Aufgabe noch nicht so richtig verstanden.
Ich habe hier eine ähnliche Aufgabe, wo ich mir sicher bin das diese so richtig ist.
Nur der übergang zur obigen fällt mir relativ schwer!
Hier die für mich verständliche Aufgabe:
Es sei f: [mm] \IR^2 \mapsto \IR [/mm] gegeben durch [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3y^2}{x^8+y^4}, & \mbox{für } (x,y) \not = (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
zu Aufgabenteil a) Bestimmen Sie sämtliche Richtungsableitungen in (0,0) falls existent!
Außerhalb des nullpunktes sind die gegebenen Funktionen als Kompostition Produkte etc. stetiger Funktionen wieder stetig!
Betrachte die Folge [mm] (x,x^2) [/mm] -> (0,0) , (x -> [mm] \infty)
[/mm]
[mm] f(x,x^2) [/mm] = [mm] \bruch{x^3x^4}{x^8x^8} [/mm] = [mm] \bruch{x^7}{2x^8} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] -> [mm] \infty [/mm] (x-> 0).
Unser Übungsleiter meinte, man könnte den Zähler erstmal außer Acht lassen, und müssten sehen das der Nenner mit den Variablen x und y die gleiche Potenz hätten...
Aber das ist ja bei der oben gestellten Aufgabe, ja bereits schon der Fall. Wie müsste man das dann angehen, bzw. welche Folge könnte man konstruieren das die Aufgabe lösbar wird?
Bitte dringend um Hilfe...
Vielen Dank und Grüße
Bodo
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Hallo Bodo!
Dann betrachte doch mal [mm] $(x,x)\rightarrow(0,0)$ [/mm] ... also mit derselben Potenz.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo!
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> Dann betrachte doch mal [mm](x,x)\rightarrow(0,0)[/mm] ... also mit
> derselben Potenz.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
>
Hallo,
Es sei f: [mm] \IR^2 \mapsto \IR [/mm] gegeben durch [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not = (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Auch wieder den Standardsatz: Außerhalb des Nullpunktes sind die gegebenen Funktionen als Komposition Produkte etc. stetiger Fkt. wieder stetig.
Also, man betrachte dann die Folge (x,x) -> (0,0) (x->0)
f(x,x) = [mm] \bruch{xx^3}{x^2x^3} [/mm] = [mm] \bruch {x^4}{x^5} [/mm] -> 0 (x-> [mm] \infty)
[/mm]
Bitte um kurze Rückmeldung
Gruß Bodo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Fr 06.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wie hast du a gelöst?
2.
> Es sei f: [mm]\IR^2 \mapsto \IR[/mm] gegeben durch
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not = (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
>
> Auch wieder den Standardsatz: Außerhalb des Nullpunktes
> sind die gegebenen Funktionen als Komposition Produkte etc.
> stetiger Fkt. wieder stetig.
>
> Also, man betrachte dann die Folge (x,x) -> (0,0) (x->0)
>
> f(x,x) = [mm]\bruch{xx^3}{x^2x^3}[/mm] = [mm]\bruch {x^4}{x^5}[/mm] -> 0 (x->
> [mm]\infty)[/mm]
wie kommst du von [mm] x*y^2 [/mm] auf [mm] x*x^3? [/mm] und wie von [mm] x^2+y^2 [/mm] auf erstens ein Prodkt und zweitens [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^3. [/mm]
der gesamte Ausdruck hat mit der Aufgabe nichts mehr zu tun. am Ende geht dann noch x gegen [mm] \infty [/mm] statt gegen 0.
also probiers nochmal.
Gruss leduart
(das Produkt war auch in deinem 1. Bsp falsch, da musste im Nenner [mm] x^8+x^8stehen)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
zu meinem verständlichen Bsp. hast du Recht, da muss noch ein + zwischen.
Zur jetztigen Aufgabe:
Ich betrachte die Folge (x,x) -> (0,0) (x-> 0)
f(x,x) = [mm] \bruch{xx^2}{x^2+x^2} [/mm] = [mm] \bruch{x^3}{2x^2} [/mm] -> 0 (x-> 0)
Bin mir allerdings nicht sicher, ob das jetzt so korrekt ist!
Bitte um kurze Rückmeldung
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:57 Sa 07.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist jetzt so richtig, aber damit ist die Stetigkeit nicht bewiesen, wenn [mm] \infty [/mm] rauskäme hast du Unstetigkeit bewiesen, wie in deinem letzten Beispiel. aber hier hast du nur bewiesen, dass du auf der Geraden y=x stetig auf 0,0 zulaufen kannst.
ich versteh auch nicht, warum du die Stetigkeit beweisemn willst, die Aufgabe heisst doch 1. alle Richtungsableitungen, 2. zeigen in 0 nicht differenzierbar.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
wenn man die Frage umformulieren würde und nach stetigkeit gefragt wird, wäre dann der Beweis so erledigt?
Wenn ich nun die Richtungsableitungen bestimme, dann kann ich das doch mit
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] machen oder?
Beste Grüße
Bodo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Sa 07.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Bodo
> Hallo,
>
> wenn man die Frage umformulieren würde und nach stetigkeit
> gefragt wird, wäre dann der Beweis so erledigt?
Lies mein letztes post dazu! Was machst du eigentlich mit den posts?
> Wenn ich nun die Richtungsableitungen bestimme, dann kann
> ich das doch mit
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm] machen
> oder?
ODER es sei den du meinst mit [mm] x_0 [/mm] den Vektor [mm] (x_0,y_0) [/mm] und h entsprechend.
was du hinschreibst ist die Ableitung in einer Richtung (von [mm] \infty [/mm] möglichen!)
Manche deiner Fragen wirken so als hättest du keine Vorlesung, oder würdest sie gar nicht nacharbeiten. Wie kommt das?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
das kann ich dir sagen.
Unser Prof schreibt einfach nur aus seinem tollen Buch wortwörtlich ab, ohne irgendwas zu erklären.
Die Übungsblätter gehen nur über irgendwelche schwierigen Beweise und die Klausur wird dann größten Teils nur mit mehr oder weniger Rechenaufgaben sein. Daher auch meine für euch unverständlichen Fragen!!! Es gibt keine Bsp. rein nix... und da ich leider noch in Anfängervorlesungen sitze, frage ich eben, weil ich es nicht verstehe.
Ich kann mir die Sachen am besten einprägen und verstehen, wenn ich einfach mal ein Zahlenbsp. habe, wo mir einfach gesagt wird, was ich da zu machen habe, was ich wo einzusetzen habe, wie ich was umformen könnte etc... Dann würde ich auch sicherlich nicht so häufig so dumme Fragen stellen, die für euch wahrscheinlich einleuchtend sind...
Grüße
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