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| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} x²-1, & \mbox{für } |x|<2 \mbox{ } \\ ax+a, & \mbox{für } |x|>=2 \mbox{ mit a Element R} \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie a so, dass f an der rechten Nahstelle stetig wird. Welcher Sachverhalt liegt dann an der linken Nahstelle vor? |
Hallo an Alle ^^,
ich weiß überhaupt nicht wie ich diese Aufgabe anfassen soll, besonders die Bestimmung von a bereitet mir Probleme. Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe.
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
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> [mm]f_a(x)=\begin{cases} x²-1, & \mbox{für } |x|<2 \mbox{ } \\ ax+a, & \mbox{für } |x|>=2 \mbox{ mit a Element R} \end{cases}[/mm]
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> Bestimmen Sie a so, dass f an der rechten Nahstelle stetig
> wird. Welcher Sachverhalt liegt dann an der linken
> Nahstelle vor?
Hallo,
Du solltest Dich zuerst ein wenig mit den Funktionen bekannt machen.
Es ist eine Funktionenschar, welche abschnittweise definiert ist, oder besser sollte man statt f schreiben [mm] f_a.
[/mm]
Ich würde nun an Deiner Stelle die Funktion [mm] f_a [/mm] erstmal für ein paar verschiedene a aufzeichnen, für a=0, ein paar positive a und ein paar negative.
Du wirst sehen, daß viele dieser Funktionen nicht stetig sind.
Stetigkeit an einer Stelle hat ja was mit dem Grenzwert zu tun. Was ?
Hier interessiert nun die Stetigkeit in den Punkten x=2 und x=-2.
Die Frage ist: für welche(s) a gibt es in diesen Punkten einen Grenzwert?
Gruß v. Angela
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kann ich das nicht iwie rechnerisch machen ohne zeichnung?!?!
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> kann ich das nicht iwie rechnerisch machen ohne
> zeichnung?!?!
Natürlich kannst Du es rechnerisch machen.
Genau gesagt MUSST Du es rechnerisch machen!
Aber ich hatte den Eindruck, daß Du überhaupt nicht verstanden hast, worum es geht.
Hast Du denn mal ein paar Funktionen gezeichnet? Siehst Du, daß viele von ihnen unstetig sind?
Woran erkennst Du die Unstetigkeit in der Zeichnung? An welchen Stellen ist der Knackpunkt?
Woran erkennst Du die Unstetigkeit rechnerisch?
Wie ist "Stetigkeit" definiert? (Grenzwert).
Mit dieser Definition mußt Du arbeiten.
Gruß v. Angela
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das alles so schwer :-( wie soll ich das nur anwenden?!?!?!
Stetigkeit liegt an der Stelle x0 vor wenn:
1. limes links = limes rechts
2. grenzwert = f(x0)
3. x0 in der Definitionsmenge definiert is
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> das alles so schwer :-( wie soll ich das nur
> anwenden?!?!?!
Ich gebe gern zu, daß die Sache mit der Stetigkeit nicht ganz einfach ist.
Deshalb sei etwas nett zu Dir und verschaff' Dir Zeichungen von den Graphen. Wenn man Bilder auf dem Papier oder Bildschirm hat, hat man bald auch welche im Kopf, und dann wird die Sache einfacher. Man muß diese Dinge zuerst be-greifen, bevor man mit Formalismen darangeht.
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> Stetigkeit liegt an der Stelle [mm] x_0 [/mm] vor wenn:
> 1. [mm] x_0 [/mm] in der Definitionsmenge definiert is
> 2. grenzwert = [mm] f(x_0), [/mm] d.h. es ist
> 3. limes links = limes [mm] rechts=f(x_0)
[/mm]
Du hast die Bedingungen für Stetigkeit schön zusammengetragen, ich habe die Reihenfolge verändert, und es etwas ergänzt.
Anschaulich bedeutet Stetigkeit ja, daß der Graph (in den definierten Bereichen) nicht zerreißt. Man kann ihn ohne Absetzen malen.
Guck Dir jetzt mal diese Funktion an:
[mm] g(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le = \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Mal sie auf. Sie ist nicht stetig. Es hakt an der Stelle 0. Dort springt sie.
Die Funktion ist an der Stelle 0 definiert(1.).
Der rechte Grenzwert ist nicht gleich dem linken, denn wenn Du Du Dich von links der Null näherst, ist der Grenzwert der Funktionswerte =0, näherst Du Dich von rechts der Stelle 0, so ist der Grenzwert der Funktionswerte =1.
Weil der rechte und linke Grenzwert an dieser Stelle verschieden sind, hat die Funktion keinen Grenzwert, ist also nicht stetig.
___
Bei "Deiner" Funktion sollst Du nun schauen, für welches a die Funktion rechts, also an der Stelle x=2 stetig ist.
Du mußt es also so hinbiegen, daß sowohl der Grenzwert von oben als auch von unten an dieser Stelle gleich sind.
Gruß v. Angela
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