Stetigkeit < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Semi85 |
Hallo!
Habe eine Frage zu einer Aufgabe, in der ich die Stetigkeit prüfen soll, weiß aber nicht, wie ich das machen soll..
g(x)= 1+ ln( [mm] \bruch{1}{8} [/mm] x² + [mm] \bruch{1}{2})
[/mm]
Prüfen sie, ob diese Verbindungskurve ohne Knick in die Geraden [mm] y=\bruch{1}{2}*x [/mm] und [mm] y=-\bruch{1}{2}*x [/mm] einmündet.
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke auch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Daox |
Hi!
Versuche ersteinmal eingene Gedanken und Ansätze zu entwickeln.
Als Tipp: Logarithmen negativer Zahlen und von Null sind nicht definiert.
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Hallo Semi85,
> g(x)= 1+ ln( [mm]\bruch{1}{8}[/mm] x² + [mm]\bruch{1}{2})
[/mm]
>
> Prüfen sie, ob diese Verbindungskurve ohne Knick in die
> Geraden [mm]y=\bruch{1}{2}*x[/mm] und [mm]y=-\bruch{1}{2}*x[/mm] einmündet.
Manchmal hilft es sich zunächst eine Zeichnung zu machen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir sehen jetzt, was mit "Einmünden" gemeint ist. Nach dem obigen "Satz" bilden wir die erste Ableitung mit der Kettenregel:
[m]f'(x) = \frac{1}{{{\textstyle{1 \over 8}}x^2 + {\textstyle{1 \over 2}}}}*\frac{2}{8}x = \frac{{2x}}{{x^2 + 4}}[/m]
Der Zähler ist hier offenbar immer positiv; Wir können ihn also ignorieren. Der Nenner wird für $x = [mm] 0\!$ [/mm] ebenfalls 0, weshalb wir bei [mm] $x\!$ [/mm] einen Extremwert vermuten können. Wir bilden deshalb die 2te Ableitung mit der Quotientenregel:
[m]f^{\left( 2 \right)} \left( x \right) = \frac{{2\left( {x^2 + 4} \right) - 2x*2x}}{{\left( {x^2 + 4} \right)^2 }} = \frac{{2x^2 + 8 - 2x*2x}}{{\left( {x^2 + 4} \right)^2 }} = \frac{{ - 2x^2 + 8}}{{\left( {x^2 + 4} \right)^2 }} = \frac{{2\left( {4 - x^2 } \right)}}{{\left( {x^2 + 4} \right)^2 }}[/m]
Wenn wir hier die 0 einsetzen, erhalten wir eine positive Zahl. Damit besitzt [mm] $f\!$ [/mm] an der Stelle [m][0,1 + \ln \left( {\frac{1}{2}} \right) = 1 + \ln \left( 1 \right) - \ln \left( 2 \right) = 1 - \ln \left( 2 \right)][/m] einen Tiefpunkt.
Die beiden Geraden treffen sich übrigens bei [0,0] (Einfach Terme gleichsetzen.), weshalb deren Schnittpunkt tiefer liegt, als der Tiefpunkt von [mm] $f\!$. [/mm] Übrigens wird die 2te Ableitung hier für [mm] $\pm [/mm] 2$ 0, und wenn man die 3te Ableitung bildet und [mm] $\pm [/mm] 2$ einsetzt, kriegt man auch eine Zahl ungleich 0. Wenn man [mm] $\pm [/mm] 2$ in f einsetzt, kriegt man 1 raus, weshalb f bei [-2,1] und [2,1] Wendestellen besitzt und wenn man 2 oder -2 in die Geraden einsetzt, so kommt ebenfalls 1 raus.
Da 1 > 1-ln(2) > 0 (siehe Schnittpunkt) und gleichzeitig -2 < 0 < 2, liegt der Tiefpunkt von f "zwischen" diesen Geraden und wir haben wirklich so etwas wie eine "Einmündung". 
Viele Grüße
Karl
[P.S. Die 3te Ableitung kannst du zur Übung mal selber bestimmen.]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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