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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Sa 05.01.2008 | | Autor: | MepH |
| Aufgabe | Beispiele:
1. f(x) = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
2. g(x) = [mm] x^{2} [/mm] |
Hallo,
ich habe ein paar Probleme damit, Stetigkeitsnachweise zu führen, deshalb würd ich das kurz an zwei Beispielaufgaben versuchen.
zur 1)
| f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] | = | [mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{x_{0}} [/mm] | < [mm] \wurzel{|x-x_{0}|} [/mm] < [mm] \wurzel{\delta} \le \varepsilon
[/mm]
=> zum Beispiel [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] ²
=> fertig (?)
zur 2)
| f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] | = | x² - [mm] x_{0}² [/mm] | < [mm] \delta [/mm] | [mm] \bruch{x² - x_{0}²}{x - x_{0}} [/mm] | = [mm] \delta [/mm] | x + [mm] x_{0} [/mm] | [mm] \le \varepsilon
[/mm]
=> zum Beispiel [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{x + x_{0}}
[/mm]
Aber hier hängt Delta noch von x ab, da komm ich nicht weiter.
Kann mir da jemand nen Tipp geben und sagen, ob die 1 zu richtig (zuende) ist? :)
Danke vielmals im Voraus,
MepH
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Sa 05.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beispiele:
>
> 1. f(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm]
> 2. g(x) = [mm]x^{2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe ein paar Probleme damit, Stetigkeitsnachweise zu
> führen, deshalb würd ich das kurz an zwei Beispielaufgaben
> versuchen.
>
> zur 1)
> | f(x) - [mm]f(x_{0})[/mm] | = | [mm]\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{x_{0}} | < \wurzel{|x-x_{0}|}[/mm] < [mm]\wurzel{\delta} \le \varepsilon[/mm]
Erstens ist die Ungleichung [mm]|\wurzel{x}-\wurzel{x_0}|< |\wurzel{x-x_0}|[/mm] im Allgemeinen falsch, wie du am Gegenbeispiel [mm]x=1/10[/mm], [mm]x=1/5[/mm] siehst.
(Tipp: Schreibe: [mm]|x-x_0|=|\wurzel{x}-\wurzel{x_0}||\wurzel{x}+\wurzel{x_0}|[/mm]!)
Zweitens ist deine Ungleichungskette etwas unklar, das zeige ich dir am zweiten Teil:
Du willst zeigen, dass du zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]\delta>0[/mm] finden kannst, sodass [mm]| f(x) - f(x_{0}) |<\varepsilon[/mm], wenn [mm]|x-x_0|<\delta[/mm].
> zur 2)
> [mm]| f(x) - f(x_{0}) | = | x^2 - x_{0}^2 | < \delta | \bruch{x^2 - x_{0}^2}{x - x_{0}} | = \delta | x + x_{0} |[/mm]
Bis hierhin OK.
>[mm] \le \varepsilon[/mm]
Welcher Schluss ist das? Das gehört eher nach ganz links.
> => zum Beispiel [mm]\delta[/mm] = [mm]\bruch{\varepsilon}{x + x_{0}}[/mm]
Da fehlt der Betrag: [mm]\delta[/mm] = [mm]\bruch{\varepsilon}{|x + x_{0}|}[/mm].
> Aber hier hängt Delta noch von x ab, da komm ich nicht
> weiter.
Du willst doch [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] haben, oder [mm]x_0-\delta
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Sa 05.01.2008 | | Autor: | MepH |
Hallo,
danke schonmal für deine Antwort rainerS.
zur 1)
| f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] | = | [mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{x_{0}} [/mm] | = | [mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{x_{0}} [/mm] | = | [mm] \bruch{x - x_{0}}{\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}} [/mm] | < [mm] \bruch{\delta}{|\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}|}
[/mm]
Hier hängt [mm] \delta [/mm] ja wieder von x ab und hier bekomm ich es nicht wirklich weg. Eine Abschätzung von x, sodass der nächste Schritt sicher größer ist fällt mir auch nicht auf. Ich nehme an, hier muss man wieder irgendwie abschätzen? Wenn ich x mit [mm] x_{0}-\delta [/mm] abschätze bringt mir das ja nicht viel.
zur 2)
[mm] \delta [/mm] darf ja wohl nicht von [mm] \delta [/mm] abhängen, denn wenn ich nun habe:
| f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] | = | [mm] x^2 [/mm] - [mm] x_{0}^2 [/mm] | < [mm] \delta [/mm] | [mm] \bruch{x^2 - x_{0}^2}{x - x_{0}} [/mm] | = [mm] \delta [/mm] | x + [mm] x_{0} [/mm] | < [mm] \delta (2|x_{0}|+\delta)
[/mm]
kriege ich da mal wieder [mm] \delta [/mm] nicht aus der Klammer raus oder auf eine Seite, sodass ich dann sagen kann [mm] \delta [/mm] * etwas [mm] \le \varepsilon \Rightarrow [/mm] z.B. [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{etwas}
[/mm]
wobei "etwas" hier nur von [mm] x_{0} [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] abhängen darf. Wie kommt man hier dann weiter?
Grüße und in Hoffnung auf baldige Erleuchtung,
MepH
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 So 06.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> zur 1)
>
> [mm]| f(x) - f(x_{0}) | = | \wurzel{x} - \wurzel{x_{0}} | = | \wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}| = |\bruch{x - x_{0}}{\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}} | < \bruch{\delta}{|\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}|}[/mm]
>
> Hier hängt [mm]\delta[/mm] ja wieder von x ab und hier bekomm ich es
> nicht wirklich weg. Eine Abschätzung von x, sodass der
> nächste Schritt sicher größer ist fällt mir auch nicht auf.
> Ich nehme an, hier muss man wieder irgendwie abschätzen?
> Wenn ich x mit [mm]x_{0}-\delta[/mm] abschätze bringt mir das ja
> nicht viel.
Du kannst die Dreiecksungleichung benutzen: [mm] |\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}| \ge ||\wurzel{x}| - |\wurzel{x_{0}}|| = |\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}|[/mm], damit ist
[mm]|f(x)-f(x_0)|^2 = |\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}|^2 \le |\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}| * |\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}| = |x-x_0| <\delta [/mm].
> zur 2)
>
> [mm]\delta[/mm] darf ja wohl nicht von [mm]\delta[/mm] abhängen, denn wenn
> ich nun habe:
> | f(x) - [mm]f(x_{0})[/mm] | = | [mm]x^2[/mm] - [mm]x_{0}^2[/mm] | < [mm]\delta[/mm] |
> [mm]\bruch{x^2 - x_{0}^2}{x - x_{0}}[/mm] | = [mm]\delta[/mm] | x + [mm]x_{0}[/mm] | <
> [mm]\delta (2|x_{0}|+\delta)[/mm]
>
> kriege ich da mal wieder [mm]\delta[/mm] nicht aus der Klammer raus
> oder auf eine Seite, sodass ich dann sagen kann [mm]\delta[/mm] *
> etwas [mm]\le \varepsilon \Rightarrow[/mm] z.B. [mm]\delta[/mm] =
> [mm]\bruch{\varepsilon}{etwas}[/mm]
>
> wobei "etwas" hier nur von [mm]x_{0}[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] abhängen
> darf. Wie kommt man hier dann weiter?
Na, da wirst du wohl die quadratische Gleichung [mm]\varepsilon = \delta^2+2|x_0|\delta = (\delta+|x_0|)^2-x_0^2[/mm] lösen müssen.
Ein einfacherer Weg ist der, dass du annimmst, dass [mm]\delta<1[/mm]. (Warum darfst du das?) Dann setzt du [mm]\delta=\bruch{\varepsilon}{2|x_0|+1}[/mm]. Wenn [mm]|x-x_0|<\delta[/mm], so ist
[mm] |x^2-x_0^2| < \varepsilon\bruch{2|x_0|+\delta|}{2|x_0|+1} <\varepsilon [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mo 07.01.2008 | | Autor: | MepH |
Guten Morgen,
> Du kannst die Dreiecksungleichung benutzen: [mm]|\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}| \ge ||\wurzel{x}| - |\wurzel{x_{0}}|| = |\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}|[/mm],
> damit ist
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|^2 = |\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}|^2 \le |\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}| * |\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}| = |x-x_0| <\delta [/mm].
Mit der Dreiecks ungleichung kann ich also folgern:
[mm] \bruch{\delta}{|\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}|} \le \bruch{\delta}{|\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}|} \le \bruch{\delta}{\varepsilon} \le \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] z.B. [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon²
[/mm]
Ist das so korrekt?
Außerdem, wann weiß ich, dass meine Gleichungskette nicht zu groß geworden ist?
z.B. bei diesem Schritt:
[mm] \bruch{\delta}{|\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}|} \le \bruch{\delta}{|\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}|} [/mm]
Woher weiß ich, dass das ganze dann noch kleiner [mm] \varepsilon [/mm] ist? Ich meine, ich kann ja auch nicht einfach im Nenner mal Tausend rechnen (wenn mir das theoretisch was bringen würde)?
zur 2)
> Na, da wirst du wohl die quadratische Gleichung [mm]\varepsilon = \delta^2+2|x_0|\delta = (\delta+|x_0|)^2-x_0^2[/mm]
> lösen müssen.
>
> Ein einfacherer Weg ist der, dass du annimmst, dass
> [mm]\delta<1[/mm]. (Warum darfst du das?) Dann setzt du
> [mm]\delta=\bruch{\varepsilon}{2|x_0|+1}[/mm]. Wenn [mm]|x-x_0|<\delta[/mm],
> so ist
>
> [mm]|x^2-x_0^2| < \varepsilon\bruch{2|x_0|+\delta|}{2|x_0|+1} <\varepsilon[/mm]
Es war nicht die Quadratische Gleichung [mm]\varepsilon = \delta^2+2|x_0|\delta = (\delta+|x_0|)^2-x_0^2[/mm] sondern [mm]\varepsilon = -\delta^2+2|x_0|\delta[/mm] glaube ich. Das Lösen der quadratischen Gleichung bringt mir also:
[mm] \delta=\bruch{-2|x_{0}|\pm\wurzel{4|x_{0}|²-4\varepsilon}}{-2}
[/mm]
So: Ist das nun also die Lösung?
Außerdem - wieso kann ich denn annehmen, dass [mm] \delta<1?
[/mm]
Noch einmal vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Di 08.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Du kannst die Dreiecksungleichung benutzen: [mm]|\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}| \ge ||\wurzel{x}| - |\wurzel{x_{0}}|| = |\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}|[/mm],
> > damit ist
> >
> > [mm]|f(x)-f(x_0)|^2 = |\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}|^2 \le |\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}| * |\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}| = |x-x_0| <\delta [/mm].
>
> Mit der Dreiecks ungleichung kann ich also folgern:
>
> [mm]\bruch{\delta}{|\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}|} \le \bruch{\delta}{|\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}|} \le \bruch{\delta}{\varepsilon} \le \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z.B. [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon²[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Außerdem, wann weiß ich, dass meine Gleichungskette nicht
> zu groß geworden ist?
> z.B. bei diesem Schritt:
> [mm]\bruch{\delta}{|\wurzel{x} + \wurzel{x_{0}}|} \le \bruch{\delta}{|\wurzel{x} - \wurzel{x_{0}}|}[/mm]
> Woher weiß ich, dass das ganze dann noch kleiner
> [mm]\varepsilon[/mm] ist? Ich meine, ich kann ja auch nicht einfach
> im Nenner mal Tausend rechnen (wenn mir das theoretisch was
> bringen würde)?
Das habe ich nicht verstanden. Du hast:
[mm]|f(x)-f(x_0)|^2 \le |x-x_0|[/mm],
das gilt allgemein.
Also ist [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm], wenn [mm]|x-x_0|<\delta=\wurzel{\epsilon}[/mm]. Damit hast du zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] ein passendes [mm]\delta[/mm] und bist fertig.
> zur 2)
>
> > Na, da wirst du wohl die quadratische Gleichung [mm]\varepsilon = \delta^2+2|x_0|\delta = (\delta+|x_0|)^2-x_0^2[/mm]
> > lösen müssen.
> >
> > Ein einfacherer Weg ist der, dass du annimmst, dass
> > [mm]\delta<1[/mm]. (Warum darfst du das?) Dann setzt du
> > [mm]\delta=\bruch{\varepsilon}{2|x_0|+1}[/mm]. Wenn [mm]|x-x_0|<\delta[/mm],
> > so ist
> >
> > [mm]|x^2-x_0^2| < \varepsilon\bruch{2|x_0|+\delta|}{2|x_0|+1} <\varepsilon[/mm]
>
> Es war nicht die Quadratische Gleichung [mm]\varepsilon = \delta^2+2|x_0|\delta = (\delta+|x_0|)^2-x_0^2[/mm]
> sondern [mm]\varepsilon = -\delta^2+2|x_0|\delta[/mm] glaube ich.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du weisst, dass [mm]|f(x)-f(x_0)|<\delta(2|x_0|+\delta)[/mm], wenn [mm]|x-x_0|<\delta[/mm]. Wenn du also dein [mm]\delta[/mm] immer so wählen kannst, dass [mm]\varepsilon=\delta(2|x_0|+\delta)[/mm] ist, dann bist du fertig. Das ist immer möglich, indem du
[mm]\delta= \wurzel{\varepsilon+|x_0|^2}-|x_0|[/mm]
setzt.
> Außerdem - wieso kann ich denn annehmen, dass [mm]\delta<1?[/mm]
Wenn [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm] für [mm]|x-x_0|<\delta[/mm], dann ist es natürlich auch der Fall für [mm]|x-x_0|<\delta_1<\delta[/mm]. Also kannst du dein [mm]\delta[/mm] immer so klein wählen wie nötig.
Anschaulich heisst das nur, dass es für die Stetigkeit unerheblich ist, was in einem gewissen Abstand von [mm]x_0[/mm] passiert.
Viele Grüße
Rainer
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