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Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Do 17.01.2008
Autor: upskuhr

Aufgabe
Zeige dass [mm] f(x)=x^2+3 [/mm] stetig in x=2 ist.

Hallo,

irgendwie hab ich das Gefühl das mit der Steigkeit so gar nicht hin zu kriegen. Scheitere schon an der ersten dazu gestellten Aufgabe.
Kommen tu ich bis hier:
|2-y| < [mm] \delta [/mm]
[mm] |7-(y^2+3)|=|4-y^2|<\epsilon [/mm]
Nur wie komm ich jetzt auf mein [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \epsilon [/mm] ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Do 17.01.2008
Autor: Kreide

du kannst einfach die die Ableitung bilden, bzw den Differenzquotienten bilden.

wenn eine Funktion ableitbar ist, ist sie auch stetig.... (so umgehe ich immer die stetigkeit direkt zu beweisen^^)
Bezug
        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Do 17.01.2008
Autor: schachuzipus

Hallo upskuhr und [willkommenmr] !!


> Zeige dass [mm]f(x)=x^2+3[/mm] stetig in x=2 ist.
>  
> Hallo,
>  
> irgendwie hab ich das Gefühl das mit der Steigkeit ;-) so gar
> nicht hin zu kriegen. Scheitere schon an der ersten dazu
> gestellten Aufgabe.
>  Kommen tu ich bis hier:
>  |2-y| < [mm]\delta[/mm]
>  [mm]|7-(y^2+3)|=|4-y^2|<\epsilon[/mm]

Das ist ja ein munterer Variablentausch hier...

>  Nur wie komm ich jetzt auf mein [mm]\delta[/mm] in Abhängigkeit von
> [mm]\epsilon[/mm] ?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Schreiben wir nochmal die Def. auf, damit wir uns dran halten können ;-)

f heißt stetig in [mm] x_0, [/mm] falls [mm] $\forall [/mm] \ [mm] \varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists [/mm] \ [mm] \delta>0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] \ 0 < [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] \ : \ [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]

Gut soweit, zu finden gilt es nun ein [mm] $\delta$ [/mm]  bei beliebig vorgegebenen [mm] $\varepsilon$, [/mm] das diese Bedingung erfüllt

Schätzen wir in einer NR den Betrag [mm] $|f(x)-f(x_0)|$ [/mm] ab.

Da lagst du schon genau richtig:

[mm] $|f(x)-f(x_0)|=...=|x^2-4|=|(x+2)\cdot{}(x-2)|=|x+2|\cdot{}|x-2|$ [/mm]

Dass wir nun $|x-2|$ haben, ist gut. Was machen wir mit dem $|x+2|$?

Schreiben wir [mm] $|x+2|=|x\red{-2+2}+2|=|x-2+4|\le [/mm] |x-2|+4$ nach der Dreiecksungleichung

Also haben wir  [mm] $|x+2|\cdot{}|x-2|\le (|x-2|+4)\cdot{}|x-2|$ [/mm]


Kannst du dir nun ein passendes [mm] $\delta$ [/mm] basteln, so dass für alle [mm] $|x-2|<\delta$ [/mm] dann gilt: [mm] $(|x-2|+4)\cdot{}|x-2| [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$? [/mm]


LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:20 Fr 18.01.2008
Autor: upskuhr

Nachdem ich gestern ganz zu frieden war mit meiner Lösung, die ich dank deiner Antwort herausgekriegt habe, bin ich nun etwas verunsichert.
Mein Lösung ist:
|x-2|+4 > 1
=> (|x-2|+4) |x-2| >|x-2|
d.h. ich kann einfach [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] wählen.
Stimmt das so? Gibt es vielleicht noch eine allgemeinere Lösung, die sich öfter anwenden lässt?

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Fr 18.01.2008
Autor: leduart

Hallo
nach schach. hast du doch $ [mm] |x+2|\cdot{}|x-2|\le (|x-2|+4)\cdot{}|x-2| [/mm] $
wenn du jetzt [mm] |x-2|<\delta [/mm] einsetzt
hast du :
$ [mm] |x+2|\cdot{}|x-2|\le (|x-2|+4)\cdot{}|x-2|<\delta^2+4*\delta [/mm] < [mm] 4*\delta$ [/mm]
kannst du jetzt [mm] \varepsilon=\delta [/mm] nehmen?
wenn du sowas machst, musst du es schon beweisen!D.h. dein vermutetes [mm] \delta [/mm] einsetzen und nachsehen ob du < [mm] \varepsilon [/mm] rauskriegst!
Gruss leduart

Bezug
                                
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Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:00 Fr 18.01.2008
Autor: schachuzipus

Hallo leduart,

ich würde nicht [mm] $\delta=\varepsilon$ [/mm] nehmen, habe ich auch nie behauptet ;-)

[mm] \red{\text{Edit}}: [/mm] sorry leduart, hatte das "nach" am Anfang deines Satzes überlesen, dachte, du meinst mich ... ohoh

Besser [mm] $\delta=min\left\{1,\frac{\varepsilon}{5}\right\}$ [/mm]

Das sollte es tun...

LG

schachuzipus
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