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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Sa 19.01.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion g: [mm] R\toR [/mm] mit [mm] g(x)=x^{5}-x^{4}+x^{3}+x-2.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass g streng monoton wachsend ist und folglich die Umkehrfunktion [mm] g^{-1}\equivf [/mm] existiert!
b) Berechnen Sie f'(0) und f''(0).
c) Ist f gleichmäßig stetig auf |R? |
Hallo,
also a) und b) habe ich gemacht (waren ja ganz leicht) und dann kam c)...
Normalerweise kann man ja immer sagen, dass eine differenzierbare Funktion stetig ist. Nur leider kann ich die Funktion f nicht konkret ausrechnen, sondern ebend nur bestimmte Funktionswerte der Ableitungen wie ich es in b) gemacht habe. Jetzt müsste ich also auf gleichmäßige Stetigkeit mit Hilfe der [mm] \varepsilon-\delta-Definition [/mm] untersuchen und ich glaube zumindest, dass die Funktion auch wirklich gleichmäßig stetig ist, aber habe das selbe Problem wie immer: Was kann ich für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] einsetzen damit es funktioniert und wie komme ich darauf?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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> Gegeben ist die Funktion g: [mm]R\to R[/mm] mit
> [mm]g(x)=x^{5}-x^{4}+x^{3}+x-2.[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass g streng monoton wachsend ist und
> folglich die Umkehrfunktion [mm]g^{-1}\equivf[/mm] existiert!
> b) Berechnen Sie f'(0) und f''(0).
> c) Ist f gleichmäßig stetig auf |R?
> Hallo,
>
> also a) und b) habe ich gemacht (waren ja ganz leicht) und
> dann kam c)...
>
> Normalerweise kann man ja immer sagen, dass eine
> differenzierbare Funktion stetig ist. Nur leider kann ich
> die Funktion f nicht konkret ausrechnen, sondern ebend nur
> bestimmte Funktionswerte der Ableitungen wie ich es in b)
> gemacht habe. Jetzt müsste ich also auf gleichmäßige
> Stetigkeit mit Hilfe der [mm]\varepsilon-\delta-Definition[/mm]
> untersuchen und ich glaube zumindest, dass die Funktion
> auch wirklich gleichmäßig stetig ist,
Nein, diese Funktion ist nie und nimmer gleichmässig stetig auf ganz [mm] $\IR$: [/mm] denn die rauscht ja für [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] etwa so steil weg wie [mm] $x\mapsto x^5$.
[/mm]
> aber habe das selbe
> Problem wie immer: Was kann ich für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm]
> einsetzen damit es funktioniert und wie komme ich darauf?
Wie gesagt: diese Funktion ist nicht gleichmässig stetig auf ganz [mm] $\IR$. [/mm] Also musst Du im Gegenteil zu beweisen versuchen, dass diese Funktion nicht gleichmässig stetig ist. - Und wie macht man dies? - Vielleicht hilft Dir eine Diskussion, die ich über dieses Thema vor Kurzem schon mal geführt habe (und nun nicht unbedingt wiederholen möchte): Gleichmäßige Stetigkeit
Nebenbei gesagt: Man könnte hier die gleichmässige Stetigkeit auch mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung widerlegen. Denn aufgrund dieses Satzes muss für [mm] $x_1
Jedoch gilt [mm] $\lim_{x\rightarrow \infty}f'(x)=+\infty$, [/mm] so dass, selbst wenn [mm] $|x_2-x_1|<\delta$, [/mm] aber [mm] $\frac{\delta}{2}\leq|x_2-x_1|$, [/mm] die Differenz [mm] $|f(x_2)-f(x_1)|$ [/mm] beliebig gross gemacht werden kann, sofern nur [mm] $x_1,x_2$ [/mm] genügend gross gewählt werden (eben so, dass sie die $x$-Koordinaten eines genügend steilen Stücks des Graphen von $f(x)$ sind, d.h. eines Stücks mit genügend grossen Ableitungen).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Sa 19.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Hallo,
diese andere Diskussion zum Thema gleichmäßige Stetigkeit kenne ich, die war ja mit mir. Ich dachte auch, dass ich es verstanden habe bzw. ich habe es für [mm] x^{2} [/mm] auch verstanden. Mein Problem ist mehr, dass ich jetzt weiß was die Definition meint und wie ich sie anwende, aber keine Funktion habe auf die ich sie anwenden kann, weil die Umkehrfunktion von g(x) kann man ja nicht ausrechnen, oder? Und wie soll ich das alles denn ohne konkrete Gleichung machen?
Lg Anne
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> Hallo,
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> diese andere Diskussion zum Thema gleichmäßige Stetigkeit
> kenne ich, die war ja mit mir. Ich dachte auch, dass ich es
> verstanden habe bzw. ich habe es für [mm]x^{2}[/mm] auch verstanden.
> Mein Problem ist mehr, dass ich jetzt weiß was die
> Definition meint und wie ich sie anwende, aber keine
> Funktion habe auf die ich sie anwenden kann, weil die
> Umkehrfunktion von g(x) kann man ja nicht ausrechnen, oder?
> Und wie soll ich das alles denn ohne konkrete Gleichung
> machen?
Zunächst: Ich verstehe nicht, was in Deiner ursprünglichen Aufgabenstellung denn $f$ sein soll. Du hast dort offiziell nur $g$ definiert. Ist vielleicht $f(x) := [mm] g^{-1}(x)$??
[/mm]
Bitte schreibe dies ganz klar: sonst reden wir aneinander vorbei. (Ich hatte angenommen, dass $f=g$ sei, was nicht der Fall zu sein scheint.)
Dass $g$ streng monoton wachsend (und daher umkehrbar) ist, kannst Du z.B. ohne expliziten Funktionsterm der Umkehrfunktion (d.h. Auflösen der Gleichung $y=g(x)$ nach $x$) machen, indem Du zeigst, dass die Ableitung immer [mm] $\geq [/mm] 0$ ist (zudem kann sie auf keinem Teilintervall identisch $0$ sein, da dies bei einer Polynomfunktion bedeuten würde, dass sie identisch $0$ ist, was ja bei $g(x)$ offensichtlich nicht der Fall sein kann).
Auch die Ableitung der Umkehrfunktion von $g$ kann man alleine aus der Ableitung von $g$ selbst bestimmen (ohne einen expliziten Funktionsterm von [mm] $g^{-1}$ [/mm] zu haben, den man direkt ableiten könnte). Von welcher Funktion musst Du nun zeigen, dass sie gleichmässig stetig ist? Von $g$ oder von [mm] $g^{-1}$ [/mm] oder von $f$ (was immer $f$ für eine Funktion sein soll)?
Wie Du gesehen hast, kann man eventuell den Mittelwertsatz der Differentialrechnung benutzen um zu entscheiden, ob eine Funktion gleichmässig stetig ist oder nicht. Also genügt uns zur Entscheidung dieser Frage eventuell bereits die Kenntnis der Ableitung der fraglichen Funktion...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 19.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Tut mir leid, dass das nicht in der Aufgabenstellung steht [mm] g^{-1}=f [/mm] soll gelten! Ich hab auch schon in der ersten Frage geschrieben, dass ich keine Probleme hatte zu zeigen, dass g streng monoton wachsend ist und f somit existiert. Ich habe auch f'(0) und f''(0) problemlos ausgerechnet. Und jetzt ist noch gefragt ob f gleichmäßig stetig ist und das konnte ich nicht, weil ich ja keine Gleichung für f errechnen kann. Für den Mittelwertsatz brauche ich doch auh eine Gleichung von f, oder?
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> Tut mir leid, dass das nicht in der Aufgabenstellung steht
> [mm]g^{-1}=f[/mm] soll gelten! Ich hab auch schon in der ersten
> Frage geschrieben, dass ich keine Probleme hatte zu zeigen,
> dass g streng monoton wachsend ist und f somit existiert.
> Ich habe auch f'(0) und f''(0) problemlos ausgerechnet. Und
> jetzt ist noch gefragt ob f gleichmäßig stetig ist und das
> konnte ich nicht, weil ich ja keine Gleichung für f
> errechnen kann. Für den Mittelwertsatz brauche ich doch auh
> eine Gleichung von f, oder?
Da gibt es doch die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion. Daraus folgt, glaube ich, dass
[mm](g^{-1})'(y)=\frac{1}{g'(g^{-1}(y))}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wegen $\lim_{x\rightarrow \pm \infty} g'(x)=+\infty}$ folgt daraus, dass die Ableitung von $g^{-1}$ (d.h. Deinem $f$) beschränkt ist.
Nachtrag (Revision 2): und wegen $g'(x)\geq 1$ hätte ich noch schreiben sollen, dann nur deswegen ist $(g^{-1})'$ wirklich beschränkt.
Sagen wir durch eine Schranke $M$. Somit gilt, wegen des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung
[mm]|f(x_2)-f(x_1)|=|f'(\xi)|\cdot |x_2-x_1|\leq M\cdot |x_2-x_1|[/mm]
Die rechte Seite dieser Ungleichung wird daher [mm] $<\varepsilon$, [/mm] sofern [mm] $|x_2-x_1|<\frac{\varepsilon}{M}$ [/mm] ist. Nimm somit [mm] $\delta [/mm] := [mm] \frac{\varepsilon}{M}$: [/mm] dies beweist die gleichmässige Stetigkeit von $f$ d.h. [mm] $g^{-1}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Sa 19.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Danke! So was brauchte ich und mit der Formel, die du hingeschrieben hast, hab ich schon f'(0) und f''(0) ausgerechnet, also die gibt es.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> Danke! So was brauchte ich und mit der Formel, die du
> hingeschrieben hast, hab ich schon f'(0) und f''(0)
> ausgerechnet, also die gibt es.
Für die Beschränktheit von [mm] $f'=(g^{-1})'$ [/mm] genügt übrigens diese Formel zusammen mit [mm] $\lim_{x\rightarrow \pm \infty} g'(x)=+\infty$ [/mm] noch nicht (wie ich geschrieben hatte): man benötigt zudem, dass [mm] $g'(x)\geq [/mm] 1$ ist, sonst könnte ja [mm] $\frac{1}{g'(x)}$ [/mm] eventuell beliebig gross werden.
Dass [mm] $g'(x)=5x^4-4x^4+2x^3+1\geq [/mm] 1$ ist, folgt daraus, dass die einzige reelle Nullstelle von $g'(x)-1$ die Stelle $x=0$ ist. Weit aussen ist ja ohnehin $g'(x)$ gross, positiv. Also ist [mm] $|f'(x)|\leq [/mm] 1$: man könnte somit als Schranke $M := 1$ wählen, d.h. [mm] $\delta [/mm] := [mm] \varepsilon$ [/mm] müsste schon genügen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Mo 21.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Hallo,
ich habe noch eine allgemeine Frage zu der Formel und weniger zur Stetigkeit:
[mm] (g^{-1})'(x)=\bruch{1}{g'(g^{-1}(x))}=\bruch{1}{5}, [/mm] aber was ist dann
[mm] (g^{-1})''(x)=???
[/mm]
Es hört sich einfach an, aber so viele Leute wie ich schon in meinem Semester gefragt habe, so viele Antworten habe ich...
Weiß es jemand ganz genau?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mo 21.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Achso,
[mm] \bruch{1}{5} [/mm] natürlich für x=0!
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> Hallo,
>
> ich habe noch eine allgemeine Frage zu der Formel und
> weniger zur Stetigkeit:
>
> [mm]\red{(g^{-1})'(x)=\bruch{1}{g'(g^{-1}(x))}}=\bruch{1}{5},[/mm] aber
> was ist dann
>
> [mm](g^{-1})''(x)=???[/mm]
>
> Es hört sich einfach an, aber so viele Leute wie ich schon
> in meinem Semester gefragt habe, so viele Antworten habe
> ich...
>
> Weiß es jemand ganz genau?
Ich denke es ist ganz "einfach": die zweite Ableitung einer Funktion ist die erste Ableitung ihrer ersten Ableitung: [mm] $g''(x)=\big(g'(x)\big)'$ [/mm] bzw. [mm] $(g^{-1})''(x)=\big((g^{-1})'(x)\big)'$. [/mm] Wenn wir diese Grundidee auf Dein Problem anwenden, dann erhalten wir also, indem wir die Quotientenregel (und, damit verbunden auch die Kettenregel) auf die obenstehende Formel für die Berechnung von [mm] $(g^{-1})'(x)$ [/mm] aus [mm] $g'(g^{-1}(x))$ [/mm] anwenden, dass gelten muss
[mm](g^{-1})''(x) = \left(\red{(g^{-1})'(x)}\right)'=\left(\red{\bruch{1}{g'(g^{-1}(x))}}\right)'=-\frac{g''(g^{-1}(x))\cdot \red{(g^{-1})'(x)}}{\left[g'(g^{-1}(x)\right]^2}=-\frac{g''(g^{-1}(x))}{\left[g'(g^{-1}(x))\right]^3}[/mm]
Wir können diese Behauptung an einem einfachen Beispiel testen: Sei [mm] $g(x)=e^x$ [/mm] und [mm] $g^{-1}(x)=\ln(x)$. [/mm] Aufgrund der obigen Umformung müsste also gelten:
[mm](g^{-1})''(x)=-\frac{g''(g{-1}(x))}{\left[g'(g^{-1}(x))\right]^3}=-\frac{e^{\ln x}}{\left[e^{\ln x}\right]^3}=-\frac{x}{x^3}=-\frac{1}{x^2}[/mm]
Dieses Ergebnis stimmt jedenfalls gut mit der direkten Berechnung von [mm] $(g^{-1})''(x)$ [/mm] überein:
[mm](g^{-1})''(x)=\left(\ln(x)\right)''=\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Di 22.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Sa 19.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Ich hab die Umkehrfunktion zu g mal f genannt, also [mm] g^{-1}=f
[/mm]
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