Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen
Frage a) Zeigen Sie, dass durch die Funktion $ [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR \to \IC, [/mm] t [mm] \mapsto e^{it} [/mm] $
eine stetige Abbildung von [mm] \IR [/mm] auf $ [mm] S^1=\{z \in \IC : |z|=1\} [/mm] $ definiert ist.
b) Herr Müller möchte sich das viele Kaffeetrinken abgewöhnen. Dazu hat er folgende Strategie entwickelt: Er trinkt immer wieder eine feste Menge [mm] \lambda [/mm] aus seiner Thermometerflasche ( 1 Liter Volumen) und füllt diese mit Milch auf. Er hört auf, sobald die Kaffemenge in der Flasche einen halben Liter unterschritten hat.
Wieviel Kaffee und wieviel Liter Milch hat Herr Müller dabei im Ganzen getrunken? Berechnen Sie die Grenzwerte für [mm] \lambda \to [/mm] 0.
a) $ t [mm] :\mapsto e^{it} [/mm] = cost + i sint $ und $ [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR \to S^1 [/mm] $.
[mm] \phi [/mm] ist stetig: $ [mm] \forall [/mm] t [mm] \in \IR [/mm] $, $ [mm] \phi(t)= [/mm] cost + i sint $ und $ [mm] cos^2 [/mm] t + [mm] sin^2 [/mm] t = 1 [mm] \Rightarrow \phi(t) \in S^1 [/mm] $
Und $ [mm] \forall t\in \IR [/mm] $ sind $ cost $ und $ sint $ stetig.
Daraus folgt $ [mm] \phi(t) [/mm] = cost + i sint $ ist stetig.
Ist das genau stimmt oder nicht? Für alle Hilfe bin ich dankbar. Die Strategie Herrn Müller habe ich leider nicht verstanden!!!
Sauerstoff
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Fr 14.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo zusammen
>
> Frage a) Zeigen Sie, dass durch die Funktion [mm]\phi : \IR \to \IC, t \mapsto e^{it} [/mm]
>
>
> eine stetige Abbildung von [mm]\IR[/mm] auf [mm]S^1=\{z \in \IC : |z|=1\}[/mm]
> definiert ist.
>
> b) Herr Müller möchte sich das viele Kaffeetrinken
> abgewöhnen. Dazu hat er folgende Strategie entwickelt: Er
> trinkt immer wieder eine feste Menge [mm]\lambda[/mm] aus seiner
> Thermometerflasche ( 1 Liter Volumen) und füllt diese mit
> Milch auf. Er hört auf, sobald die Kaffemenge in der
> Flasche einen halben Liter unterschritten hat.
> Wieviel Kaffee und wieviel Liter Milch hat Herr Müller
> dabei im Ganzen getrunken? Berechnen Sie die Grenzwerte für
> [mm]\lambda \to[/mm] 0.
>
> a) [mm]t :\mapsto e^{it} = cost + i sint[/mm] und [mm]\phi : \IR \to S^1 [/mm].
>
>
> [mm]\phi[/mm] ist stetig: [mm]\forall t \in \IR [/mm], [mm]\phi(t)= cost + i sint[/mm]
> und [mm]cos^2 t + sin^2 t = 1 \Rightarrow \phi(t) \in S^1[/mm]
>
>
> Und [mm]\forall t\in \IR[/mm] sind [mm]cost[/mm] und [mm]sint[/mm] stetig.
> Daraus folgt [mm]\phi(t) = cost + i sint[/mm] ist stetig.
>
> Ist das genau stimmt oder nicht? Für alle Hilfe bin ich
Das stimmt genau so, da der Einheitskreis die von [mm] $\IC$ [/mm] (isomorph zu [mm] $\IR^2$) [/mm] induzierte Topologie trägt.
mfG Moudi
> dankbar. Die Strategie Herrn Müller habe ich leider nicht
> verstanden!!!
Dass ist eine klassische Aufgabe. Arbeite mit der Kaffeemenge [mm] $\mu(t)$. [/mm] Nach dem ersten Schritt ist noch [mm] $\mu(1)=(1-\lambda)$ [/mm] Liter Kaffe("molekühle") -- natürlich in einer Mischung -- in der Thermoskanne. Nach dem zweiten Schritt sind es noch [mm] $\mu(2)=(1-\lambda)^2$ [/mm] Liter etc.
Jetzt musst du das kleinste t bestimmen, für das [mm] $\mu(t)<\frac [/mm] 12$ ist. Den Rest kanns du dir dann selber überlegen.
mfG Moudi
>
> Sauerstoff
>
|
|
|
| |
|
Hallo moudi
Besten Dank für deine Hilfe. Meinst du, dass $ [mm] \mu [/mm] (t) = [mm] (1-\lambda)^t [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ ... [mm] (\*) [/mm] ist. Aber erstens wie hast du das gemacht, habe ich nicht verstanden, zweitens bei [mm] (\*) [/mm] muss ich Ableitung benutzen? Oder Bernoulli Ungleichung? Ist das möglich, genaue Lösung zu geben?
Danke im Voraus
Sauerstoff
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:46 Di 18.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sauerstoff,
die Variable $t [mm] \in \IN_{\,0}=\IN \cup \{0\}$ [/mm] ist bei Moudi die Anzahl, wie oft Herr Müller aus der Flasche getrunken hat. Wenn Herr Müller $t=0$ mal aus der Flasche getrunken hat, so ist [mm] $\mu(0)=(1-\lambda)^0=1$ [/mm] ([m]\mu(t)[/m] ist die Kaffeemenge "reines Kaffees (flüssig)" in der Kanne nach dem $t$-ten Abtrinken. Zu Beginn enthält die Kanne ja genau einen Liter Kaffee, also [mm] $\mu(0)=1$!).
[/mm]
Jetzt überlege dir, dass die folgende Überlegung zum Kaffetrinken von Herrn Müller passt:
Bei $t=n-1 [mm] \in \IN_{\,0}$ [/mm] hat Herr Müller ja einen Kaffeeanteil von [m]\mu(n-1)[/m] Liter (flüssigen) Kaffee in der Kanne.
Was passiert beim Schritt $n-1 [mm] \to [/mm] n$?
Er trinkt [mm] $\lambda$ [/mm] Liter von dem einen Liter Mischgetränk weg. Der Anteil an "reinem Kaffee (flüssig)" in der Kanne beträgt unmittelbar nach dem Abtrinken:
[mm] $(1-\lambda)*\mu(n-1)$ [/mm] Liter Kaffee. Da jetzt kein Kaffe mehr hinzu kommt, sondern nur Milch, bleibt beim wiederauffüllen (mit Milch) der Kanne auf ein Liter der Anteil am "reinen Kaffe (flüssig)" in der Kanne enthalten.
D.h.:
[mm] $\mu(n)=(1-\lambda)*\mu(n-1)$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Daraus erhält man (wie bei einem Induktionsbeweis):
[mm] $\mu(t)=(1-\lambda)^t$ $\forall [/mm] t [mm] \in \IN_{\,0}$.
[/mm]
Ich hoffe, dass du damit erst mal einen Anfang hast. Das kleinste [m]t=t_{\lambda} \in \IN_{\,0}[/m] mit [mm] $(1-\lambda)^{t_{\lambda}}<\frac{1}{2}$ [/mm] ([mm]\lambda \in [0,1][/mm] fest) auszurechnen, geht wie folgt:
Wir nehmen einfach mal [mm] $\lambda \in [/mm] (0,1)$ an (die Fälle [mm] $\lambda=0$ [/mm] bzw. [mm] $\lambda=1$ [/mm] kannst du ja selbst durchgehen):
[mm](1-\lambda)^t<\frac{1}{2}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\stackrel{Monotonie\; des\;\ln\;bzw.\;der\;exp}{\Longleftrightarrow$
$\ln((1-\lambda)^t)<\ln\left(\frac{1}{2}\right)$
$\gdw$
$t*\underbrace{\ln(1-\lambda)}_{<\,\, \ln(1)=0}<-\ln(2)}\right)$
$\gdw$
[mm]t > \frac{-\ln(2)}{\ln(1-\lambda)}[/mm]
D.h., [mm] $t_{\lambda}$ [/mm] muss dann die kleinste ganze Zahl sein, die größer als [mm]\frac{-\ln(2)}{\ln(1-\lambda)}[/mm] ist. Bezeichnet etwa [mm] $\lfloor [/mm] . [mm] \rfloor$ [/mm] die ![[]](/images/popup.gif) Gaußklammer, so gilt:
[mm] $t_{\lambda}=\lfloor\frac{-\ln(2)}{\ln(1-\lambda)}\rfloor [/mm] +1$.
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:49 Di 18.01.2005 | | Autor: | Sauerstoff |
Hallo Marcel
Wunderbar! Das ist sehr nett von Dir. Danke für deine Hilfe. Morgen muss ich mit allen Aufgaben(über Stetigkeit in diesem Forum) fertig sein. Leider konnte ich noch nicht alles lösen. Aber du hast mir wirklich sehr gut geholfen.
Besten Dank nochmal
Sauerstoff
|
|
|
|
