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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:37 Do 13.01.2005 | | Autor: | Sauerstoff |
Hallo zusammen
$ I [mm] \subset \IR [/mm] $ sei ein nichtleeres Intervall, $ f : I [mm] \to \IR [/mm] $ und $ J = f(I) $. Prüfen Sie, ob folgende Aussagen richtig sind:
a) Sei f stetig, $ I $ und $ J $ seien Intervalle vom gleichen Typ. Dann ist f streng monoton.
b) Sei f streng monoton auf $ I $. Dann existiert eine Umkehrfunktion $ f^-1 : J [mm] \to [/mm] I $.
c) Sei f streng monoton. Dann sind $ I $ und $ J $ Intervalle vom gleichen Typ.
d) Es existiert eine stetige umkehrbare Funktion f mit $ [mm] I=\IR [/mm] $ und $ J=[0,1] $
a) Stimmt. Sonst f ist konstant, d.h. für alle $ x [mm] \in [/mm] I $ existiert ein $ c [mm] \in [/mm] J $ (wegen Stetigkeit) sodass $ f(x) = c $. Daraus folgt, dass $ J $ kein Intervall ist und besteht nur von ein Element, also $ J = [mm] \{c \} [/mm] $. Da $ I $ und $ J $ vom gleichen Typ sind, ist das ein Widerspruch!
Also, f ist streng monoton.
b) Stimmt. Da f streng monoton ist, ist für $ [mm] x_1 \not [/mm] = [mm] x_2 \Rightarrow f(x_1) \not [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] $, d.h. f ist injektiv(1-1).
Jetzt möchte ich zeigen, dass f surjektiv ist. Sei $ y [mm] \in [/mm] J $. Zu Zeigen: $ [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] J $ $ [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] I $ sodass $ f(x) = y $.
Wegen Stetigkeit nimmt f alle Elemente in $ J $ mindestens einmal. Deshalb existiert mindestens ein x in $ I $ sodass $ f(x) = y $.
Das heisst, f ist injektiv und surjektiv, also bijektiv. Daraus folgt, f ist streng monoton. $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ existiert $ f^-1 $.
Bin ich auf dem richtigen Weg??
Hat jemand eine Idee oder eine Lösung für c) oder d) ?????
Danke im Voraus
Sauerstoff
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Do 13.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Sauerstoff,
ich möchte nur mal klar stellen, ob ich es verstanden habe:
grundvorraussetzung ist: f ist eine funktion von I nach R und J ist f(I)
da steht noch nichts über die Stetigkeit von f !
zu a) ich verstehe nicht ganz, wie du von nicht-streng-monton auf konstant kommst - die Funktion könnte doch mal steigen und mal fallen...
Beispiel : Sinus im Intervall [0, $ [mm] 2*\pi [/mm] $]
zu b) hier wird nicht vorrausgesetzt, dass f stetig ist !! du benutzt es aber in deinem beweis, um zu zeigen, dass jedes Element aus J ein Urbild hat.
Dies ist aber offensichtlich, denn J=f(I) !
btw: das mit der Injektivität ist zwar simpel, aber ich würde die strenge Monotonie noch explizit mit einrechnen (für die armen Tutoren)
bei c) weiß ich nicht, was bei euch Intervalle vom gleichen Typ sind.
Beispiel : sind $ [0;1] $ und $ [ [mm] 0;1]\cup [/mm] [ 1;2] $ gleichen Typs ?
wenn nicht, kannst du einfach eine Gerade nehmen, die an einer Stelle unstetig ist und der zweite Teil nach oben verschoben wurde.
bei d) ist also ein Funktion f:R-> [0,1] gesucht, die stetig und bijektiv ist (Letzteres gibt es garantiert wegen Gleichmächtigkeit), aber stetig... hmm, da muss ich mal noch überlegen...
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Do 13.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
eine kurze anmerkung zu d):
eine stetige, (stetig) umkehrbare funktion von [m] \mathbb{R} [/m] nach [m] [0,1] [/m] kann es aus topologischen gründen nicht geben, da das eine objekt offen, das andere aber abgeschlossen ist (in der notation von sauersteoff wären das dann wohl intervalle verschiedenen typs) und diese eigenschaft unter homöomorphismen eine invariante ist!
grüße
andreas
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Hallo andreas
Danke für deine Hilfe aber ich habe genau nicht verstanden. Könntest du noch ausführlich erklären, wenn möglich?
Danke im Voraus
Sauerstoff
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