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Hallo zusammen!
Ich habe immense schwierigkeiten mit der Stetigkeit, dabei ist mein Hauptproblem, dass ich nie weiß wie ich bei dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriterium ansetzen muss...
In den Vorlesungen, Übungen usw. haben wir noch so unanschauliche, komplexe Aufgaben dazu angesprochen, deswegen habe ich mir mal zwei ganz elementare Funktionen herausgesucht:
1) f : [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) := x
2) g: [mm] \IR \to \IR, [/mm] g(x) := [mm] \wurzel{x}
[/mm]
3) h: [mm] \IR \to \IR, [/mm] h(x) := [mm] x^2
[/mm]
Ich habe inzwischen mitbekommen, dass man mit |a - b | < [mm] \delta
[/mm]
für a, b [mm] \in \IR [/mm] anfangen muss und durch Implikationen zu
| f(a) - f(b) | < [mm] \varepsilon [/mm] kommen muss.
So ganz lese ich das aber auch nicht aus der Definition heraus, aber ich versuche mal:
1) Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] beliebig gewählt. Sei [mm] \delta [/mm] beliebig vorgegeben. Es gilt: | a - b | < delta.
Jetzt setze ich [mm] \varepsilon:= \delta [/mm] und es ist - zum Glück: f(a) = a und f(b) = b, dann bekommt man:
|f(a) - f(b) |< [mm] \varepsilon.
[/mm]
2) Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] beliebig gewählt. Sei [mm] \delta [/mm] beliebig vorgegeben. Es gilt: | a - b | < delta.
Nun ist aber g(a) = [mm] \wurzel{a} [/mm] und g(b) = [mm] \wurzel{b} [/mm] und ich scheitere...
3) Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] beliebig gewählt. Sei [mm] \delta [/mm] beliebig vorgegeben. Es gilt: | a - b | < delta.
Es ist h(a) = [mm] a^2 [/mm] und h(b) = [mm] b^2....
[/mm]
Ich weiß einfach nicht wie ich da weiterrechnen soll. Kann mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
Gruß, dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Mo 24.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hoffe, du kannst die Stetigkeitsdefinition im Schlaf noch aufsagen:
ZU jedem [mm] \varepsilon [/mm] gehört ein [mm] \delta [/mm] so dass gilt.......
D.h. wenn ich dir irgendein [mm] \varepsilon [/mm] sage mußt du mir ein [mm] \delta [/mm] angeben können!
deshalb kannst du nicht irgendein [mm] \delta [/mm] vorgeben! Stell dir das wie eine Diskussion vor: Ich geb dir ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] dann sagst du klar dazu reicht [mm] \delta [/mm] =. Kaum bist du fertig sag ich dir ein klineres [mm] \varepsilon [/mm] und du mußt wieder ein [mm] \delta [/mm] finden usw.usw. denn es gibt ja zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] laut deiner Behaüptung. Dabei hab ich noch weggelassen, dass das [mm] \delta [/mm] meist noch von der Stelle [mm] x_{0} [/mm] abhängt, an der man die Stetigkeit beweisen will. [mm] \delta [/mm] hängt also im allgemeinen von [mm] x_{0} [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] ab. Wenn man [mm] \delta [/mm] kleiner macht schadet das aber nie!
Nun zu deinen Beispielen f(x) =x stetig bei [mm] x_{0} [/mm] da sag ich |x- [mm] x_{0}|< \varepsilon
[/mm]
und du sagst sofort hihi hab ich schon mein [mm] \delta [/mm] es ist einfach [mm] \varepsilon.
[/mm]
Bei f(x)=5x ist es schon schwieriger ich sag mein [mm] \varepsilon [/mm] und du mußt dein [mm] \delta [/mm] schon [mm] \varepsilon/5 [/mm] machen!
jetzt [mm] f(x)=x^{2} [/mm] Ich sag [mm] |x^{2}-x0<^{2}|<\varepsilon [/mm] und jetzt kommst du ins Denken. Da du Binomi gut kennst schreibst du erst mal
[mm] |x^{2}-x0<^{2}| [/mm] =|(x-x0)(x+x0)| =|(x-x0)|*|(x+x0)| Und dann denkst du x+x0 <2x0
oder <2x (x,x0>0) und wenn du jetzt [mm] \delta [/mm] < [mm] \varepsilon/2x0 [/mm] wählst bist du fein raus.
Aber irgend eine Standardmethode um das richtige [mm] \delta [/mm] zu finden gibt es nicht, da muß man immer denken und rumprobieren, manchmal hilft es mit einem [mm] \delta [/mm] anzufangen und es am Ende noch zu verbessern,
Alles klar oder noch mehr Verwirrung?
Gute Nacht
leduart
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Hallo leduart...
inzwischen habe ich das Epsilon-Delta-Kriterium für so "einfache" Funktionen verstanden 
aber ich hänge nun an folgender (für mich nicht mehr so einfache) Funktion:
Behauptung:
f: (0,1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{1}{x}
[/mm]
ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.
Beweis:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegeben. Dann gilt für alle x mit |a-x|< [mm] \delta:
[/mm]
|f(x) - f(a)| = | [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{a}| [/mm] = | [mm] \bruch{a-x}{xa} [/mm] | <
| [mm] \bruch{ \delta}{xa} [/mm] | = [mm] \delta [/mm] | [mm] \bruch{1}{ax} [/mm] |
So, ich bekomme das x jetzt nicht raus! Wie komme ich denn da weiter? Kann mir jemand einen Tipp geben?
gruß, dancingestrella
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo leduart...
>
> inzwischen habe ich das Epsilon-Delta-Kriterium für so
> "einfache" Funktionen verstanden
> aber ich hänge nun an folgender (für mich nicht mehr so
> einfache) Funktion:
>
> Behauptung:
> f: (0,1] [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{1}{x}
[/mm]
> ist stetig,
> aber nicht gleichmäßig stetig.
>
> Beweis:
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig vorgegeben. Dann gilt für
> alle x mit |a-x|< [mm]\delta:
[/mm]
>
> |f(x) - f(a)| = | [mm]\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{a}|[/mm] = |
> [mm]\bruch{a-x}{xa}[/mm] | <
> | [mm]\bruch{ \delta}{xa}[/mm] | = [mm]\delta[/mm] | [mm]\bruch{1}{ax}[/mm] |
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> So, ich bekomme das x jetzt nicht raus! Wie komme ich denn
> da weiter? Kann mir jemand einen Tipp geben?
Genau, wie bekommt man das x heraus.
Du weisst ja, dass [mm] $x>a-\delta$, [/mm] denn [mm] $|a-x|<\delta$ [/mm] und daraus folgt, dass [mm] $x>\frac [/mm] a2$, wenn [mm] $\delta<\frac [/mm] a2$ und daraus [mm] $\frac 1x<\frac [/mm] 2a$ (falls [mm] $\delta<\frac [/mm] a2$).
Einsetzen ergibt:
$|f(x) - [mm] f(a)|<\frac{2\delta}{a^2}$.
[/mm]
Wählt man jetzt delta kleiner als [mm] $\varepsilon\frac{a^2}{2}$, [/mm] so gilt
$|f(x) - [mm] f(a)|<\varepsilon$ [/mm] (falls [mm] $\delta<\min\{\varepsilon\frac{a^2}{2},\frac a2\}$).
[/mm]
Man sieht an diesem Beispiel, dass [mm] $\delta$ [/mm] schwer von a abhängt. Wenn $a$ immer näher nach 0 geht, muss man für dasselbe [mm] $\varepsilon$ [/mm] immer kleinere [mm] $\delta$ [/mm] wählen, das ist der Grund, wieso [mm] $f(x)=\frac1x$ [/mm] nicht gleichmässig stetig ist.
mfG Moudi
>
> gruß, dancingestrella
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