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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Weiß nicht wirklich was hier zu tun ist:
Zeigen sie die Stetigkeit der Funktion:
f(x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] sin nx / [mm] n^2
[/mm]
Bin für jeden Tip dankbar!
mfg.
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Hi Skydiver,
> Zeigen sie die Stetigkeit der Funktion:
>
> [m]f\left( x \right): = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin \left( {nx} \right)}}
{{n^2 }}}[/m]
Also ich bin mir jetzt leider nicht sicher, aber wenn ich diese Funktion
ableiten kann, dann müßte das doch als Argument für die Stetigkeit
reichen, oder?
Also:
Wegen der Linearität der Ableitung gilt:
[m]f'\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{n\cos \left( {nx} \right)}}
{{n^2 }}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\cos \left( {nx} \right)}}
{n}}[/m].
Und weil in diesem Falle die Ableitung existiert, müßte doch auch [m]f\left(x\right)[/m] in diesem Falle stetig sein, oder?
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl_Pech
> Und weil in diesem Falle die Ableitung existiert, müßte
> doch auch [m]f\left(x\right)[/m] in diesem Falle stetig sein,
> oder?
Vom Prinzip her ja aber versuch mal für [mm] x=2\pi [/mm] die Ableitung zu berechnen.
gruß
mathemaduenn
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> Hallo mathemaduenn
> > Und weil in diesem Falle die Ableitung existiert, müßte
>
> > doch auch [m]f\left(x\right)[/m] in diesem Falle stetig sein,
>
> > oder?
> Vom Prinzip her ja aber versuch mal für [mm]x=2\pi[/mm] die
> Ableitung zu berechnen.
Hast Recht, ich erhalte die harmonische Reihe. Was ist, wenn ich zu meiner Argumentation noch hinzufüge:
"[m]\forall x \in \IR-\left\{0\right\}:\,\text{x ist kein Vielfaches von}\,2\pi[/m]"?
Gruß
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karl!
> > Hallo mathemaduenn
>
> > > Und weil in diesem Falle die Ableitung existiert,
> müßte
> >
> > > doch auch [m]f\left(x\right)[/m] in diesem Falle stetig sein,
>
> >
> > > oder?
> > Vom Prinzip her ja aber versuch mal für [mm]x=2\pi[/mm] die
> > Ableitung zu berechnen.
>
> Hast Recht, ich erhalte die harmonische Reihe.
> Was ist,
> wenn ich zu meiner Argumentation noch hinzufüge:
> "[m]\forall x \in \IR-\left\{0\right\}:\,\text{x ist kein Vielfaches von}\,2\pi[/m]"?
Deine Argumentation (die "Linearität der Ableitung (bzgl. Funktionenreihen)") ist generell sehr überarbeitungsbedürftig. Bei Funktionenreihen darf man i.A. nicht einfach das Summations- und Differentationszeichen vertauschen. Da steht ja keine endliche, sondern eine unendliche Summe. Das ist genau die Problematik aus Beispiel 15.12 (+folgendes) (S.144 ff., ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf), da ja hier $f$ mit:
[m]f(x)=\sum_{n=1}^\infty\bruch{\sin (nx)}{n^2}=\lim_{k \to \infty}\sum_{n=1}^k\bruch{\sin (nx)}{n^2}[/m]
dann die Grenzfunktion (beachte auch: Existenz klar nach dem Majorantenkriterium) der Funktionenfolge [mm] $(f_k)_{k \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $f_k(x):=\sum_{n=1}^k\bruch{\sin (nx)}{n^2}$ [/mm] ist.
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Ich habe jetzt in meinem Skript folgenden Satz gefunden:
Sei s(x) = [mm] \summe_{}^{} [/mm] fn(x) auf einem Intervall I gleichmäßig konvergent.
Sind die Glieder fn(x) in xo stetig, so ist auch die Summenfunktion stetig.
Demnach müsste ich mittels Majorantenkriterium oder sonstigem die gleichmäßige Konvergenz nachweisen, um dann mit Hilfe der Differenzierbarkeit der Glieder die Stetigkeit zu zeigen.
Kann das so in etwa hinkommen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Skydiver!
> Hallo.
>
> Ich habe jetzt in meinem Skript folgenden Satz gefunden:
>
> Sei s(x) = [mm]\summe_{}^{}[/mm] fn(x) auf einem Intervall I
> gleichmäßig konvergent.
> Sind die Glieder fn(x) in xo stetig, so ist auch die
> Summenfunktion stetig.
>
> Demnach müsste ich mittels Majorantenkriterium oder
> sonstigem die gleichmäßige Konvergenz nachweisen,
Hast du dir den Satz 15.6 mal angeguckt? Ich denke, ihr habt einen entsprechenden Satz formuliert. Wegen der Konvergenz von [m]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/m] erhältst du mittels Satz 15.6 (Weierstraß'sches Majorantenkriterium) die gleichmäßige Konvergenz von [m]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}[/m] auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] also insbesondere auf jedem Intervall I von [mm] $\IR$. [/mm] Ist nun [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig und ist ist $I$ irgendein Intervall mit [mm] $x_0 \in [/mm] I$, so folgt damit die Stetigkeit von [m]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}[/m] nach dem von dir zitierten Satz im Punkte [mm] $x_0$ [/mm] (da ja die Funktion [m]f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n^2}[/m] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] ist). Da [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig war, ist die Funktion [m]f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}[/m] stetig auf [mm] $\IR$. [/mm]
> um dann
> mit Hilfe der Differenzierbarkeit der Glieder die
> Stetigkeit zu zeigen.
Hier verstehe ich nicht, was du mit der Differenzierbarkeit willst. Laut Aufgabenstellung sollst du nur die Stetigkeit deiner Funktion nachweisen. Differenzierbarkeit bei Funktionenreihen (Funktionenfolgen) nachzuweisen ist (manchmal?/oft?/meistens?) kompliziert(er) (siehe z.B. Satz 15.14 etc.). Karl wurde von mir bereits darauf hingewiesen (siehe https://matheraum.de/read?i=47045).
Viele Grüße,
Marcel
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. Dazu gucke mal in Satz 15.6 (S.141, skriptinterne Zählung).
