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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
| Aufgabe | | Es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig und es gelte f(x)=x² für alle [mm] x\in\IQ. [/mm] Man zeige, dass dann f(x)=x² für alle [mm] x\in\IR. [/mm] |
Hallo!
Bräuchte mal ne kleine Starthilfe für diese Aufgabe.
Wie zeige ich denn, dass alle [mm] x\in\IR?
[/mm]
Hilft mir weiter, dass wenn [mm] f:\IR \to \IR [/mm] eine Funtkion und [mm] a\in\IR [/mm] ein Punkt aus [mm] \IR, [/mm] dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n} [/mm] = f(a) ?
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> Es sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig und es gelte f(x)=x² für alle
> [mm]x\in\IQ.[/mm] Man zeige, dass dann f(x)=x² für alle [mm]x\in\IR.[/mm]
> Hallo!
>
> Bräuchte mal ne kleine Starthilfe für diese Aufgabe.
>
> Wie zeige ich denn, dass alle [mm]x\in\IR?[/mm]
>
> Hilft mir weiter, dass wenn [mm]f:\IR \to \IR[/mm] eine Funktion und
> [mm]a\in\IR[/mm] ein Punkt aus [mm]\IR,[/mm] dann [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) = f(a)[/mm] ?
Hallo Shelli,
es geht natürlich genau darum, dass man jede
(auch jede irrationale) Zahl [mm] a\in\IR [/mm] im Prinzip als
Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen erreichen
kann:
$\ [mm] a\in\IR\quad \Rightarrow\quad a=\limes_{n\to\infty}a_n$ [/mm] mit $\ [mm] a_n\in\IQ$
[/mm]
Nach Voraussetzung ist nun [mm] f(a_n)={a_n}^2 [/mm] für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
Damit wird wegen der Stetigkeit von $\ f$
[mm] f(a)=f(\limes_{n\to\infty}a_n)=\limes_{n\to\infty}f(a_n)=\limes_{n\to\infty}\left({a_n}^2\right)
[/mm]
Nun wäre noch zu zeigen, dass [mm] \limes_{n\to\infty}\left({a_n}^2\right)=a^2
[/mm]
Es stellt sich also noch die Frage, wie eigentlich
das Quadrat [mm] a^2 [/mm] einer irrationalen Zahl $\ a$ definiert
wurde. Schau dies in deinem Skript nach - ich weiss
nicht sicher, auf welche Weise ihr es exakt definiert
habt. Jedenfalls weiss ich aber: Man definiert [mm] a^2 [/mm] für
[mm] a\in\IR\backslash\IQ [/mm] genau so, dass die Funktion $\ [mm] q:x\mapsto x^2\quad (x\in\IR)$ [/mm]
eine stetige Fortsetzung der entsprechenden nur auf [mm] \IQ [/mm]
definierten Funktion ist.
Ein Stück weit ist also die gestellte Aufgabe zirkulär.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Wieso denn irrationale Zahlen? Davon ist doch gar nicht die Rede oder? [mm] x\in\IR, [/mm] nicht [mm] x\in\IR\backslash\IQ
[/mm]
[mm] f(a)=f(\limes_{n\to\infty}a_n)=\limes_{n\to\infty}f(a_n)=\limes_{n\to\infty}\left({a_n}^2\right)=a²=f(a)
[/mm]
Reicht das nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Wieso denn irrationale Zahlen? Davon ist doch gar nicht die
> Rede oder? [mm]x\in\IR,[/mm] nicht [mm]x\in\IR\backslash\IQ[/mm]
Al hat Dir nur wrklärt, dass man jede reelle Zahl (also auch irrationale Zahlen) beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren kann.
FRED
>
>
>
> [mm]f(a)=f(\limes_{n\to\infty}a_n)=\limes_{n\to\infty}f(a_n)=\limes_{n\to\infty}\left({a_n}^2\right)=a²=f(a)[/mm]
>
> Reicht das nicht?
>
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:52 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Ich tu mich noch sehr schwer mit dem Beweisen.
Ich schreib einfach nochmal auf wie weit ich mit eurer Hilfe gekommen bin, vielleicht könnt ihr mich verbessern oder den nächsten Schritt erklären. Das wäre super!
Also:
Es gilt für [mm] x\in\IQ: x=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] mit [mm] x_{n}\in\IQ. x_{n} [/mm] ist eine Folge von Punkten aus [mm] \IQ, [/mm] die gegen x konvergiert.
Nun ist zu zeigen, dass dasselbe für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt?!
Jede Zahl [mm] a\in\IR [/mm] lässt sich ebenfalls als Grenzwert einer Folge darstellen: [mm] a\in\IR \Rightarrow a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] mit [mm] a_{n}\in\IR
[/mm]
Nach Voraussetzung für die Stetigkeit ist nun [mm] f(a_{n})=a_{n}² [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
f(a)=a² [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}²=f(a)=a²
[/mm]
So... bin mir ziemlich unsicher. Freu mich über Anregungen jeglicher Art!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ich tu mich noch sehr schwer mit dem Beweisen.
> Ich schreib einfach nochmal auf wie weit ich mit eurer
> Hilfe gekommen bin, vielleicht könnt ihr mich verbessern
> oder den nächsten Schritt erklären. Das wäre super!
>
> Also:
>
> Es gilt für [mm]x\in\IQ: x=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}[/mm] mit
> [mm]x_{n}\in\IQ. x_{n}[/mm] ist eine Folge von Punkten aus [mm]\IQ,[/mm] die
> gegen x konvergiert.
Warum nimmst Du nicht [mm] x_n [/mm] = x ??
>
> Nun ist zu zeigen, dass dasselbe für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt?!
>
> Jede Zahl [mm]a\in\IR[/mm] lässt sich ebenfalls als Grenzwert einer
> Folge darstellen: [mm]a\in\IR \Rightarrow a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm]
> mit [mm]a_{n}\in\IR[/mm]
Du hast es nicht verstanden. Das ist doch gerade der Clou: Du kannst [mm] a_{n}\in\IQ [/mm] wählen. Das ist doch das was Al (und meine Wenigkeit) Dir die ganze Zeit sagen.
FRED
>
> Nach Voraussetzung für die Stetigkeit ist nun
> [mm]f(a_{n})=a_{n}²[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
>
> f(a)=a² [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}²=f(a)=a²[/mm]
>
> So... bin mir ziemlich unsicher. Freu mich über Anregungen
> jeglicher Art!
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> Es gilt für [mm]x\in\IQ: x=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}[/mm] mit
> [mm]x_{n}\in\IQ. x_{n}[/mm] ist eine Folge von Punkten aus [mm]\IQ,[/mm] die
> gegen x konvergiert.
So eine Überlegung für rationales x ist überflüssig,
da ja [mm] f(x)=x^2 [/mm] für alle [mm] x\in\IQ [/mm] vorausgesetzt wird.
Es geht also wirklich nur noch um eine Bestätigung,
dass auch für irrationale x die Gleichung [mm] f(x)=x^2 [/mm] gilt.
> Nun ist zu zeigen, dass dasselbe für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt?!
>
> Jede Zahl [mm]a\in\IR[/mm] lässt sich ebenfalls als Grenzwert einer
> Folge darstellen: [mm]a\in\IR \Rightarrow a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm]
> mit [mm]a_{n}\in\red{\IR}[/mm]
das muss hier heissen: mit [mm]a_{n}\in\blue{\IQ}[/mm] !
>
> Nach Voraussetzung für die Stetigkeit ist nun
> [mm]f(a_{n})=a_{n}²[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
nicht wegen der Stetigkeit, sondern weil [mm] f(a_n)={a_n}^2 [/mm] für rationales [mm] a_n [/mm] !
In der folgenden Zeile musst du dir jeden einzelnen
Schritt verdeutlichen:
[mm] f(a)\underbrace{=}_{(1)}f(\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n})\underbrace{=}_{(2)}\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_{n})\underbrace{=}_{(3)}\limes_{n\rightarrow\infty}\left({a_n}^2\right)
[/mm]
(1) Darstellung von a als Grenzwert rationaler Zahlen
(2) Stetigkeit von f
(3) Definition von f für rationale Argumente
Nun bliebe als letzter Schritt noch zu zeigen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left({a_n}^2\right)=a^2
[/mm]
also: wenn eine Folge von rationalen Zahlen [mm] a_n
[/mm]
gegen den Grenzwert [mm] a\in\IR [/mm] konvergiert, so hat die
Folge der Zahlen [mm] q_n={a_n}^2 [/mm] auch einen
Grenzwert, und zwar ist
[mm] $\limes_{n\to\infty}q_n=\limes_{n\to\infty}\left({a_n}^2\right)=\left(\limes_{n\to\infty}{a_n}\right)^2=a^2$.
[/mm]
Hier muss man fragen: Wie ist denn das Quadrat
[mm] a^2 [/mm] einer (irrationalen) Zahl $\ a$ überhaupt definiert ?
Und genau an dieser Stelle sieht man auch, dass
man es bei der Aufgabe in gewissem Sinne mit
einem Zirkelschluss zu tun hat, denn effektiv
werden die Rechenoperationen für irrationale
Zahlen ja geradezu so definiert, dass sie
das Rechnen mit rationalen Zahlen in sinnvoller
(d.h. im Klartext stetiger oder z.B. ordnungs-
erhaltender) Weise vom Bereich [mm] \IQ [/mm] auf den
Bereich [mm] \IR [/mm] übertragen. Damit wird die zu beweisende
Eigenschaft eigentlich offensichtlich, aber man bleibt
mit dem schalen Beigeschmack zurück, eigentlich
gar nichts bewiesen zu haben ...
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Di 18.11.2008 | | Autor: | CMD |
Das Quadrat einer irrationalen Zahl wurde in unserer Vorlesung (und ich denke ich besuche die selbe wie Shelli) noch garnicht eingeführt, geschweige denn definiert.
Allerdings lässt sich ab der von dir aufgestellten Beziehung für $ f(a) $ wie folgt weiter vorgehen, um trotzdem nur Methoden unserer Vorlesung zu verwenden:
$ [mm] f(a)=f(\limes_{n\to\infty}a_n)=\limes_{n\to\infty}f(a_n)=\limes_{n\to\infty}\left({a_n}^2\right)=\underbrace{\limes_{n\to\infty}\left({a_n}\*{a_n}\right)=\left(\limes_{n\to\infty}{a_n}\right)\*\left(\limes_{n\to\infty}{a_n}\right)}_{Permanenzeigenschaften}=a\*a={a}^2 [/mm] $
Das sollte eigentlich zusammen mit den richtigen Vorbemerkungen/Voraussetzungen für einen vollständigen Beweis reichen.
Gruß,
CMD
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> Das Quadrat einer irrationalen Zahl wurde in unserer
> Vorlesung (und ich denke ich besuche die selbe wie Shelli)
> noch garnicht eingeführt, geschweige denn definiert.
>
> Allerdings lässt sich ab der von dir aufgestellten
> Beziehung für [mm]f(a)[/mm] wie folgt weiter vorgehen, um trotzdem
> nur Methoden unserer Vorlesung zu verwenden:
>
> [mm]f(a)=f(\limes_{n\to\infty}a_n)=\limes_{n\to\infty}f(a_n)=\limes_{n\to\infty}\left({a_n}^2\right)=\underbrace{\limes_{n\to\infty}\left({a_n}\*{a_n}\right)=\left(\limes_{n\to\infty}{a_n}\right)\*\left(\limes_{n\to\infty}{a_n}\right)}_{Permanenzeigenschaften}=a\*a={a}^2[/mm]
>
> Das sollte eigentlich zusammen mit den richtigen
> Vorbemerkungen/Voraussetzungen für einen vollständigen
> Beweis reichen.
>
> Gruß,
> CMD
hallo Christoph,
danke für die Mitteilung !
Wenn man den heiklen Punkt der Argumentation
einfach auf die "Permanenzeigenschaften" schieben
kann, dann ist natürlich auch alles in Ordnung,
wenigstens sofern diese Permanenzeigenschaften
wirklich eingehend begründet worden sind.
Aus ihnen lässt sich natürlich umgekehrt auch
ableiten, wie man das Quadrat einer irrationalen
Zahl definieren muss.
In einer Analysisvorlesung kommt man aber sicher
nicht darum herum, für den Begriff der irrationalen
Zahlen und das Rechnen mit ihnen eine solide Basis
zu vermitteln.
Gruß Al-Chw.
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