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[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{\wurzel{x}-1}{1-x}, & \mbox{für } 0
Ist diese funktion an der STelle xo=1 stetig und man soll den Limes für x->0+ und oo berechnen.
Meine Idee ich setzte den 3. Ast in den Dieffernzquotienten von rechts und den 1. von likns ein ? Stimmt dass ? Dann kann ich zeigen dass die funktoin diffbar ist dann ist sie ja auch stetig.
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo tunetemptation!
Vereinfache die jeweiligen Brüche mittels binomischer Formeln. Dann sollte man die Stetigkeit jeweils schnell nachweisen können.
$$1-x \ = \ [mm] \left(1-\wurzel{x} \ \right)* \left(1+\wurzel{x} \ \right)$$
[/mm]
[mm] $$x^2-1 [/mm] \ = \ (x-1)*(x+1)$$
Gruß vom
Roadrunner
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Und was sehe ich jetzt dadurch. ? Habe vom 1. und 3. ast den GW berechnet un komme bei beiden auf-0,5. In beide Äste 1 eingestzt ergibt bei beidne auch 0 . Mh, was fang ich jetzt damit an?
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Hallo tunetemptation,
du solltest wirklich diese Diskussion auf einen thread beschränken!!
> Und was sehe ich jetzt dadurch. ? Habe vom 1. und 3. ast
> den GW berechnet un komme bei beiden auf-0,5. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jeweils als Grenzwert [mm] $x\to [/mm] 1$ von oben bzw. von unten
> In beide Äste 1 eingestzt ergibt bei beidne auch 0
???
Wie willst du in beide Äste 1 einsetzen, die sind für 1 nicht definiert, es ist definiert f(1)=0 und das ist [mm] $\neq -\frac{1}{2}=\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)$
[/mm]
Also ist f in [mm] x_0=1 [/mm] nicht stetig
> Mh, was fang ich
> jetzt damit an?
LG
schachuzipus
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Okay danke leuchtet ein aber was bringt mir die vereinfachnung mit der bin. formel ?Was sehe ich damit dann leichter ? Und warum ausgerechnet der Nenner vom 1. Ast und Zähler vom 3. Ast ????
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Hallo nochmal,
mit der Vereinfachung über die 3.binomische Formel kannst du dann so kürzen, dass du in beiden Ästen "gefahrlos" x gegen 1 laufen lassen kannst, das Problem mit "durch 0 teilen" umgehst du damit.
Durch welche Rechnung bist du denn jeweils auf die [mm] $-\frac{1}{2}$ [/mm] gekommen?
LG
schachuzipus
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Habe jeweils GW 1 durch 1+1/n bzw. 1-1/n ersetzt also, 1+ und 1- als neuer GW und dann n gegen undlich. Dass eingesetzt gibt 0/0 also Hosptital und dann kam -1/2 heraus.
Gut so ?
Wenn ich jetzt aber noch dei GW der funktion für 0 und oo ausrechnen soll, reicht es dann die einzelnen Gw der einzelnen Äste einfach auszurechnen ?
Dann bekomme ich nämlich für GW 0 im !. Ast -1 im 2. nichts im 3. -1/4 und für den GW oo im 1.Ast 0 im 2. Nix im 3. -oo.
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Hallo nochmal,
> Habe jeweils GW 1 durch 1+1/n bzw. 1-1/n ersetzt also, 1+
> und 1- als neuer GW und dann n gegen undlich. Dass
> eingesetzt gibt 0/0 also Hosptital und dann kam -1/2
> heraus.
> Gut so ?
Das Folgenkriterium ist natürlich ein mächtiges Mittel, aber du müsstest zeigen, dass jede Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1$ [/mm] auch den Wert [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=-\frac{1}{2}$ [/mm] ausspuckt, also reicht deine eine Beispielfolge nicht aus.
> Wenn ich jetzt aber noch dei GW der funktion für 0 und oo
> ausrechnen soll, reicht es dann die einzelnen Gw der
> einzelnen Äste einfach auszurechnen ?
> Dann bekomme ich nämlich für GW 0 im !. Ast -1 im 2.
> nichts im 3. -1/4 und für den GW oo im 1.Ast 0 im 2. Nix im
> 3. -oo.
Du musst natürlich nur die Äste betrachten, die die Funktion f in der "Nähe" der zu untersuchenden Stellen definieren.
Also für den Limes für [mm] x\to [/mm] 0 nur den ersten Ast, für den gegen [mm] \infty [/mm] den letzten Ast
Die Werte, die du für diese Äste ermittelt hast, stimmen, bei den anderen Ästen sind sie - wie gesagt - sinnlos
LG
schachuzipus
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Okay und wie mach ich dann dass mit jderen folge ??? Also einfach die Grenzwerte dann im entsprechenden Intervall ( also von Ast 1 bzw Ast 3 ) dazuschreiben und fertig, oder?
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Hallo nochmal,
das läuft wieder auf die Umformung mit der 3.binomischen Formel hinaus, wobei du zB. beim ersten Ast die (bekannte) Stetigkeit der Wurzelfunktion ausnutzt.
Nimm dir eine beliebige Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] her mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1$
[/mm]
Dann ist [mm] $f(x_n)=\frac{\sqrt{x_n}-1}{1-x_n}=\frac{-(1-\sqrt{x_n})}{(1-\sqrt{x_n})(1+\sqrt{x_n})}=-\frac{1}{1+\sqrt{x_n}}$
[/mm]
Da nun die Wurzelfunktion stetig ist gilt mit [mm] $x_n\to [/mm] 1$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm] auch [mm] $\sqrt{x_n}\to\sqrt{1}=1$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Also strebt [mm] $f(x_n)$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $-\frac{1}{1+1}=-\frac{1}{2}$
[/mm]
Ähnlich mit dem anderen Ast ...
LG
schachuzius
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