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| Aufgabe | Wir definieren die Abbildung f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IQ \\ \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x = \bruch{p}{q} \in \IQ; p \in \IZ, q \in \IN teilerfremd. \end{cases}
[/mm]
Sei nun [mm] x_0 \in \IR \setminus \IQ [/mm] beliebig gewählt. Zeigen Sie, dass f in [mm] x_0 [/mm] stetig ist. |
Hallo liebe Mathehelfer,
sitze jetzt schon etwas länger an dieser Aufgabe und im Prinzip ist mir ja klar was ich machen muss, aber wie ich das aufs Papier bringe, weiß ich nicht.
Zu zeigen ist ja die Stetigkeit in einem Punkt [mm] x_0 \in \IR \setminus \IQ. [/mm] D.h. mir wird sozusagen ein [mm] \varepsilon [/mm] gegeben und ich muss ein [mm] \delta [/mm] abhängig von [mm] \varepsilon [/mm] definieren. Aber wie schaffe ich das.
Es muss ja folgendes gelten.
|x- [mm] x_0|<\delta [/mm]
Wir wissen, dass
|f(x)- [mm] f(x_0)|<\varepsilon
[/mm]
also [mm] |\bruch{1}{q} [/mm] - [mm] 0|<\varepsilon
[/mm]
also [mm] \bruch{1}{q}<\varepsilon
[/mm]
Meine Überlegungen waren. Wenn der Bruch [mm] \bruch{p}{q} [/mm] mit q teilerfremd ist, dann müssten das ja alles Brüche sein, die schon vollständig gekürzt sind. Daraus kann ich ja folgern, dass alle anderen Brüche [mm] \bruch{kp}{kq} \in \IR \setminus \IQ [/mm] sind mit k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Bringt mich das weiter bei allen weiteren Überlegungen?
Ich brauche irgendwie dieses [mm] |x-x_0|<\delta
[/mm]
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Nähere Dich doch mal mit rationalen Zahlen Deinem [mm] x_0 \in \IR [/mm] beliebig nah an. Welche Funktionswerte gehören zu diesen rationalen Zahlen? Die Funktion definiert doch als Funktionswert einer (in der Tat vollständig gekürzten) rationalen Zahl den Kehrwert des Nenners. Wenn ich mich nun [mm] \wurzel{2} [/mm] z.B. mit der Heronschen Formel nähere, welches sind dann die Funktionswerte der ermittelten Folgenglieder?
Es gab zu dieser Funktion hier übrigens vor nicht langer Zeit schon einen Diskussionsstrang. Ich versuche, den mal zu finden und melde mich dann wieder.
lg,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Mi 14.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hier findest Du vielleicht noch ein bisschen Anregung in einer Diskussion zur gleichen Funktion.
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Hmmm.... also allzu sehr hilft es mir nicht weiter.
ich bräuchte einen guten Ansatzpunkt mit einem [mm] \delta.
[/mm]
Dankeschön
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Mi 14.01.2009 | | Autor: | reverend |
Den habe ich Dir in meiner ersten Antwort gegeben. Vielleicht hast Du ihn nur noch nicht gefunden.
Tipp: [mm] \delta>\bruch{1}{q}
[/mm]
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> Tipp: [mm]\delta>\bruch{1}{q}[/mm]
ok ich ersuche es mal damit.
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Ich vermute du bist folgendermaßen auf dieses [mm] \delta [/mm] gekommen.
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|\bruch{1}{q}-0|<\varepsilon:=\delta
[/mm]
Hab ich recht?
Ich würde jetzt mal so weitermachen. Ich definiere mir r [mm] \in \IR \setminus \IQ
[/mm]
[mm] |\bruch{p}{q}-r|<|........|<\bruch{1}{q}<\delta:=\varepsilon
[/mm]
Nur das abschätzen fehlt mir.
Ist dieses Vorgehen richtig?
Danke für die Antworten
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> Nähere Dich doch mal mit rationalen Zahlen Deinem [mm]x_0 \in \IR[/mm]
> beliebig nah an. Welche Funktionswerte gehören zu diesen
> rationalen Zahlen?
[mm] \bruch{1}{q} [/mm] sind die Funktionswerte der rationalen Zahlen.
> Die Funktion definiert doch als
> Funktionswert einer (in der Tat vollständig gekürzten)
> rationalen Zahl den Kehrwert des Nenners.
Wie soll ich das verstehen mit den Kehrwert des Nenners?
> Wenn ich mich nun
> [mm]\wurzel{2}[/mm] z.B. mit der Heronschen Formel nähere, welches
> sind dann die Funktionswerte der ermittelten
> Folgenglieder?
Kann man das auch ohne diese Heronsche Formel hinkriegen, da wir diese Formel noch nicht hatten.
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> > Nähere Dich doch mal mit rationalen Zahlen Deinem [mm]x_0 \in \IR[/mm]
> > beliebig nah an. Welche Funktionswerte gehören zu diesen
> > rationalen Zahlen?
> [mm] \blue{\bruch{1}{q}} [/mm] sind die Funktionswerte der rationalen
> Zahlen.
>
> > Die Funktion definiert doch als
> > Funktionswert einer (in der Tat vollständig gekürzten)
> > rationalen Zahl den Kehrwert des Nenners.
>
> Wie soll ich das verstehen mit den Kehrwert des Nenners?
Das ist der oben blau markierte Satz, in Worte gefasst.
> > Wenn ich mich nun
> > [mm]\wurzel{2}[/mm] z.B. mit der Heronschen Formel nähere, welches
> > sind dann die Funktionswerte der ermittelten
> > Folgenglieder?
>
> Kann man das auch ohne diese Heronsche Formel hinkriegen,
> da wir diese Formel noch nicht hatten.
Klar, die brauchst Du nicht. Es ist ein allgemeines Näherungsverfahren für Wurzeln.
Jede andere Folge, die gegen ein gewähltes [mm] x_0 [/mm] konvergiert, tut es auch, z.B. [mm] a_n=x_0+(-1)^n*\bruch{1}{n}
[/mm]
bzw. diese hier eben gerade nicht. Sie produziert ja keine rationalen Werte!
Also: etwas geschickter musst Du Deine Folge wählen, aber dann ist es nicht schwierig, die Stetigkeit nachzuweisen.
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Das heißt ich muss mir eine Folge definieren, die irrationale Zahlen "erzeugt"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Mi 14.01.2009 | | Autor: | reverend |
Nein gerade nicht. Die Folge soll gegen das irrationale [mm] x_0 [/mm] konvergieren, aber nur aus rationalen Gliedern bestehen.
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Achso, d.h. ich muss mir erstmal so eine Folge basteln.
Oje ob ich das hinbekomme
Ich hol mal die Schere und den Kleber raus
Nein Spaß bei Seite...
Ich versuchs mal
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Hmmm.... irgendwie will das nicht hinhauen. Gibts da irgendwie eine bestimmte Vorgehensweise, wenn ich mir so eine Folge basteln soll?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Mi 14.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ach, sie muss ja gar nicht explizit ausdrückbar sein.
Am Beispiel [mm] \wurzel{2}:
[/mm]
[mm] 1<\wurzel{2}<2, \bruch{4}{3}<\wurzel{2}<\bruch{5}{3}, \bruch{7}{5}<\wurzel{2}<\bruch{8}{5}, \bruch{9}{7}<\wurzel{2}<\bruch{10}{7}, \bruch{15}{11}<\wurzel{2}<\bruch{16}{11}, \bruch{19}{13}<\wurzel{2}<\bruch{19}{13} [/mm] ...
... [mm] \bruch{1426}{1009}<\wurzel{2}<\bruch{1427}{1003}, [/mm] ... , [mm] \bruch{42441}{30011}<\wurzel{2}<\bruch{42442}{30011}, [/mm] ... , [mm] \bruch{141408}{99991}<\wurzel{2}<\bruch{141409}{99991}, [/mm] ...
Im Nenner stehen hier nur Primzahlen (außer ganz am Anfang), so dass ich davon ausgehen darf, dass die Brüche vollständig gekürzt sind.
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