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Hallo,
ich habe die Aufgabe zu zeigen, ob die Funktion stetig ist in 0.
[mm] f(x,y)=\bruch{x^2y}{x^2+y^2} [/mm] für x,y ungleich 0,0
0 für x,y=0,0
Ich hatte mal eine ähnliche Aufgabe, nur dass statt der 0 eine Unbeliebige angegeben war. Dann haber ich 2 verschiedene Folgen gesucht, die gegen 0 konvergieren und habe diese beiden in die Funktion eingesetzt. Da zwei verschiedene Werte rauskamen, war die Funktion unabhängig von der Variablen unstetig.
Aber nun habe ich keine Beliebige, sondern einfach 0. Ich hätte jetzt, wie bei Funktionen im R, die Funktion gegen 0 laufen lassen und den Grenzwert berechnet, aber mit 2 Variablen scheint das ja nicht so zu gehen.
Was muss ich nun tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich habe die Aufgabe zu zeigen, ob die Funktion stetig ist
> in 0.
>
> [mm]f(x,y)=\bruch{x^2y}{x^2+y^2}[/mm] für x,y ungleich 0,0
> 0 für x,y=0,0
>
> Ich hatte mal eine ähnliche Aufgabe, nur dass statt der 0
> eine Unbeliebige angegeben war. Dann haber ich 2
> verschiedene Folgen gesucht, die gegen 0 konvergieren und
> habe diese beiden in die Funktion eingesetzt. Da zwei
> verschiedene Werte rauskamen, war die Funktion unabhängig
> von der Variablen unstetig.
>
> Aber nun habe ich keine Beliebige, sondern einfach 0. Ich
> hätte jetzt, wie bei Funktionen im R, die Funktion gegen 0
> laufen lassen und den Grenzwert berechnet, aber mit 2
> Variablen scheint das ja nicht so zu gehen.
>
> Was muss ich nun tun?
auch hier gilt, dass die Funktion genau dann stetig in $0=(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist, wenn für jede Folge [mm] $(z_n)_n\equiv((x_n,y_n))_n \in (\IR^2)^\IN$ [/mm] mit [mm] $z_n=(x_n,y_n) \to [/mm] 0=(0,0)$ folgt, dass auch [mm] $f(z_n)=f(x_n,y_n) \to [/mm] f(0)=f(0,0)$ (immer bei $n [mm] \to \infty$) [/mm] (wobei hier laut Aufgabenstellung [mm] $f(0)=f(0,0)=0\,$ [/mm] ist).
(Das folgt aus Satz 10.7 aus ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript. Man sollte i.a. nur beachten, welche Metrik jeweils zugrundeliegt; aber um das hier zu vermeiden, kann man auch einfach mal in Bemerkung 8.17 reinschnuppern.)
Dass [mm] $f(0,y_n) \to [/mm] 0$ ( und [mm] $f(x_n,0) \to [/mm] 0$) bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] für [mm] $y_n \to [/mm] 0$ ( und [mm] $x_n \to [/mm] 0$) bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] ist oben klar.
Für $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $x [mm] \not= [/mm] 0$ gilt allerdings
[mm] $$|f(x,y)-f(0,0)|=\frac{x^2|y|}{x^2+y^2}\le \frac{x^2|y|}{x^2}=|y|\,.$$
[/mm]
Somit solltest Du die Stetigkeit von [mm] $\,f\,$ [/mm] im Punkte $(0,0)$ erkennen (Du musst es vll. nur noch etwas sortierter aufschreiben:
Sei [mm] $(z_n)_n\equiv((x_n,y_n))_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR^2$ [/mm] mit [mm] $z_n=(x_n,y_n) \to 0=(0,0)\,.$ [/mm]
Es ist klar, dass [mm] $f(x_n,y_n)=0$ [/mm] und damit [mm] $|f(x_n,y_n)-f(0,0)|=0$ [/mm] gilt, wenn [mm] $x_n=0$ [/mm] gilt. Wir können uns also darauf beschränken, zu zeigen, dass [mm] $f(x_n,y_n) \to [/mm] 0$ für alle Folgen [mm] $(z_n)_n=((x_n,y_n))_n \in (\IR^2)^\IN$ [/mm] mit [mm] $x_n \not=0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Also:
Sei nun [mm] $z_n=(x_n,y_n)$ [/mm] so, dass [mm] $x_n \not=0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und mit [mm] $z_n=(x_n,y_n) \to (0,0)\,.$ [/mm] Dann gilt...
Gruß,
Marcel
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Ich bedanke mich wirklich für deine Mühe, aber ich kann deiner Erklärung nicht wirklich folgen. Sie ist bestimmt richtig, aber ich erkenne nicht den Kern, bzw was ich dann jetzt machen muss.
Wie wir es bei Funktionen mit einer Variablen gemacht haben, habe ich ja geschrieben. Auch, wie ich es gemacht habe, als statt der 0 eine Beliebige stand. Aber wie löse ich die Aufgabe nun, wenn da eine 0 steht. Gegen 0 laufen lassen kann ich ja die Funktion nicht einfach, wie im Eindimensionalen.
Ich wäre dankbar, wenn das nochmal expliziter erläutert werden könnte :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich bedanke mich wirklich für deine Mühe, aber ich kann
> deiner Erklärung nicht wirklich folgen. Sie ist bestimmt
> richtig, aber ich erkenne nicht den Kern, bzw was ich dann
> jetzt machen muss.
> Wie wir es bei Funktionen mit einer Variablen gemacht
> haben, habe ich ja geschrieben. Auch, wie ich es gemacht
> habe, als statt der 0 eine Beliebige stand. Aber wie löse
> ich die Aufgabe nun, wenn da eine 0 steht. Gegen 0 laufen
> lassen kann ich ja die Funktion nicht einfach, wie im
> Eindimensionalen.
>
> Ich wäre dankbar, wenn das nochmal expliziter erläutert
> werden könnte :(
ich verstehe Dein Problem nicht. Du kannst es aber beispielsweise so aufschreiben:
In [mm] $\IR^2$ [/mm] gilt $z=(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)=0 [mm] \in \IR^2$ [/mm] bzgl. der euklidischen Metrik genau dann, wenn $x [mm] \to [/mm] 0$ und $y [mm] \to [/mm] 0$ (bzgl. der normalen Betragsmetrik in [mm] $\IR$), [/mm] vgl. dazu Bemerkung 8.17 aus dem Skript meiner vorhergehenden Antwort.
Um die Stetigkeit Deiner Funktion [mm] $\,f\,$ [/mm] in $0=(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] einzusehen, werden wir zeigen, dass $f(z)=f(x,y) [mm] \to [/mm] 0=f(0,0)$ bei $z=(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)=0 [mm] \in \IR^2\,.$
[/mm]
Sei also $z=(x,y) [mm] \in \IR^2\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $$(\star)\;\;\;|f(z)-f(0)|=|f(x,y)-f(0,0)|=|f(x,y)|=\frac{x^2|y|}{x^2+y^2}\le \frac{x^2|y|}{x^2}=|y|\,.$$
[/mm]
(Denn: Bei obiger Rechnung braucht man eigentlich zunächst $x [mm] \not=0\,.$ [/mm] Ist aber [mm] $x=0\,,$ [/mm] so gilt trivialerweise, nach Definition von [mm] $\,f\,,$ [/mm] dass $|f(x,y)|=|f(0,y)|=|0|=0 [mm] \le [/mm] |y|$ (auch für [mm] $y=0\,,$ [/mm] denn es ist ja per Definitionem [mm] $f(0,0)\,=\,0$)).
[/mm]
Die Konsequenz ist:
Aus $z=(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)=0$ (bzgl. der euklidischen Metrik des [mm] $\IR^2$) [/mm] folgt $y [mm] \to [/mm] 0$ (bzgl. der normalen Betragsmetrik in [mm] $\IR$). [/mm] Wegen der Stetigkeit der Funktion [mm] $\IR \to \IR\,,$ [/mm] $r [mm] \mapsto [/mm] |r|$ (insbesondere in [mm] $r_0=0$) [/mm] folgt aber aus $y [mm] \to [/mm] 0$ auch $|y| [mm] \to 0\,.$
[/mm]
Also folgt aus [mm] $(\star)\,,$ [/mm] dass
$$0 [mm] \le [/mm] |f(x,y)-f(0,0)| [mm] \le [/mm] |y| [mm] \to [/mm] 0 [mm] \;\;\;\text{bei }(x,y) \to (0,0)\,.$$
[/mm]
Wieder mit der Stetigkeit der Funktion [mm] $\IR \to \IR\,,$ [/mm] $r [mm] \mapsto [/mm] |r|$ (insbesondere in [mm] $r_0=0$) [/mm] folgt daher $f(x,y) [mm] \to 0=f(0,0)\,,$ [/mm] also ist [mm] $\,f\,$ [/mm] stetig in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] nach Satz 10.7 (Skript, vgl. vorhergehende Antwort).
Gruß,
Marcel
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Englein,
alternativ zu Marcels Weg über die Definition möchte ich dir eine Alternative zeigen, die über Polarkoordinaten geht.
Damit geht es nämlich ganz schnell und ohne viel Abschätzerei 
Mit $x=r\cdot{}\cos(\varphi)}$ und $y=r\cdot{}\sin(\varphi)$ bekommst du
$f(x,y)=...=\frac{r^3\cos^2(\varphi)\cdot{}\sin(\varphi)}{r^2\cdot{}\cos^2(\varphi)+r^2\cdot{}\sin^2(\varphi)}=\frac{r^3\cos^2(\varphi)\cdot{}\sin(\varphi)}{r^2}=r\cdot{}\cos^2(\varphi)\cdot{}\sin(\varphi)$
Und das strebt nun für $r\downarrow 0$ unabhängig vom Winkel $\varphi$ gegen $0=f(0,0)$
Damit ist f in (0,0) stetig
LG
schachuzipus
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Dann zeige ich nochmal den Musterlösungsweg, den ich bekommen habe.
Man zeigt, dass die Ableitung nach x=(0,0) und nach y ebenso.
ABleitung nach x: [mm] \bruch{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
Dann: (1/n, 1/n)-> (0,0), aber in die Ableitung nach x eingesetzt haben wir 1/2, also nicht 0,0.
Wieso gehe ich so vor und beachte dann die Ableitung nach y gar nicht mehr?
Diese Methode scheint mir wesentlich leichter und auch in Anlehnung an die Vorgehensweise, die ich am Anfang gepostet habe für den Fall, dass nicht 0 da steht, sondern eine Beliebige oder auch im [mm] R^1, [/mm] schlüssiger. Nur dass ich nicht verstehe, wieso ich partielle ABleitungen bilden muss und dann die Ableitung nach y vernachlässige.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Englein,
> Dann zeige ich nochmal den Musterlösungsweg, den ich
> bekommen habe.
>
> Man zeigt, dass die Ableitung nach x=(0,0) und nach y
> ebenso.
>
> ABleitung nach x: [mm]\bruch{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> Dann: (1/n, 1/n)-> (0,0), aber in die Ableitung nach x
> eingesetzt haben wir 1/2, also nicht 0,0.
>
> Wieso gehe ich so vor und beachte dann die Ableitung nach y
> gar nicht mehr?
>
> Diese Methode scheint mir wesentlich leichter und auch in
> Anlehnung an die Vorgehensweise, die ich am Anfang gepostet
> habe für den Fall, dass nicht 0 da steht, sondern eine
> Beliebige oder auch im [mm]R^1,[/mm] schlüssiger. Nur dass ich nicht
> verstehe, wieso ich partielle ABleitungen bilden muss und
> dann die Ableitung nach y vernachlässige.
ist die ursprüngliche Frage wirklich, ob [mm] $\,f\,$ [/mm] stetig in [mm] $(0,\,0)$ [/mm] ist? Oder geht's vielmehr um die Stetigkeit der partiellen Ableitungen in [mm] $(0,\,0)\,,$ [/mm] oder ist die Frage, ob [mm] $\,f\,$ [/mm] stetig differenzierbar in [mm] $(0,\,0)$ [/mm] ist? Du scheinst mir hier Begriffe durcheinanderzuschmeißen.
Gruß,
Marcel
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Hallo Englein,
> Dann zeige ich nochmal den Musterlösungsweg, den ich
> bekommen habe.
>
> Man zeigt, dass die Ableitung nach x=(0,0) und nach y
> ebenso.
Was genau soll man zeigen? Da steht Wirrwar!
>
> ABleitung nach x: [mm]\bruch{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann: (1/n, 1/n)-> (0,0), aber in die Ableitung nach x
> eingesetzt haben wir 1/2 , also nicht 0,0. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wie auch? Das muss doch eine reelle Zahl und kein Tupel [mm] $\in\IR^2$ [/mm] ergeben!
>
> Wieso gehe ich so vor und beachte dann die Ableitung nach y
> gar nicht mehr?
>
> Diese Methode scheint mir wesentlich leichter und auch in
> Anlehnung an die Vorgehensweise, die ich am Anfang gepostet
> habe für den Fall, dass nicht 0 da steht, sondern eine
> Beliebige oder auch im [mm]R^1,[/mm] schlüssiger. Nur dass ich nicht
> verstehe, wieso ich partielle ABleitungen bilden muss und
> dann die Ableitung nach y vernachlässige.
Ich verstehe deine Frage nicht recht, reime mir aber zusammen, dass du zeigen sollst, dass die partiellen Ableitungen von f (nach x und y) in [mm] $(x_0,y_0)=(0,0)$ [/mm] nicht stetig sind ?!
Falls ja, ist das bei [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ [/mm] der richtige Ansatz. (Folgenkriterium der Stetigkeit)
Setzt du die Folge [mm] $(x_n,y_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] (mit [mm] $\lim\limit\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,0)$) [/mm] ein, so ergibt sich richtig [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n)=\frac{1}{2}$
[/mm]
Setze mal die Folge [mm] $(\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n},-\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] ein ...
Dann kann die partielle Ableitung nach x in (0,0) nicht stetig sein.
Wenn du ähnliche Überlegungen für die partielle Ableitung von f nach y anstellst, wirst du sehen, dass auch diese in (0,0) nicht stetig ist
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
> Hallo Englein,
>
> > Dann zeige ich nochmal den Musterlösungsweg, den ich
> > bekommen habe.
> >
> > Man zeigt, dass die Ableitung nach x=(0,0) und nach y
> > ebenso.
>
> Was genau soll man zeigen? Da steht Wirrwar!
>
> >
> > ABleitung nach x: [mm]\bruch{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
> >
> > Dann: (1/n, 1/n)-> (0,0), aber in die Ableitung nach x
> > eingesetzt haben wir 1/2 , also nicht 0,0.
>
> Wie auch? Das muss doch eine reelle Zahl und kein Tupel
> [mm]\in\IR^2[/mm] ergeben!
>
> >
> > Wieso gehe ich so vor und beachte dann die Ableitung nach y
> > gar nicht mehr?
> >
> > Diese Methode scheint mir wesentlich leichter und auch in
> > Anlehnung an die Vorgehensweise, die ich am Anfang gepostet
> > habe für den Fall, dass nicht 0 da steht, sondern eine
> > Beliebige oder auch im [mm]R^1,[/mm] schlüssiger. Nur dass ich nicht
> > verstehe, wieso ich partielle ABleitungen bilden muss und
> > dann die Ableitung nach y vernachlässige.
>
> Ich verstehe deine Frage nicht recht, reime mir aber
> zusammen, dass du zeigen sollst, dass die partiellen
> Ableitungen von f (nach x und y) in [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] nicht
> stetig sind ?!
>
> Falls ja, ist das bei [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)[/mm]
> der richtige Ansatz. (Folgenkriterium der Stetigkeit)
>
> Setzt du die Folge
> [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm]
> (mit [mm]\lim\limit\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,0)[/mm]) ein, so
> ergibt sich richtig [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n)=\frac{1}{2}[/mm]
>
> Setze mal die Folge
> [mm](\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n},-\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm]
> ein ...
>
> Dann kann die partielle Ableitung nach x in (0,0) nicht
> stetig sein.
>
> Wenn du ähnliche Überlegungen für die partielle Ableitung
> von f nach y anstellst, wirst du sehen, dass auch diese in
> (0,0) nicht stetig ist
Nur zur Ergänzung:
Dass für die obige Funktion [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(0,0)\,, \frac{\partial}{\partial y}f(0,0)$ [/mm] überhaupt existieren und welchen Wert sie haben, müsste man sich aber auch noch separat überlegen. Das ist nach der Definition der Funktion [mm] $\,f\,$ [/mm] ja nicht sofort klar.
Edit:
Sorry, ich hatte übersehen, dass Du mit zwei Nullfolgen (bzgl. der $0$ des [mm] $\IR^2$) [/mm] argumentierst, dann braucht man das nicht (mit dem Argument sieht man ja, dass, falls diese in $(0,0)$ auch existieren, dann können die partiellen Ableitungen dort eh nicht stetig sein; die Existenz ist hier eigentlich nicht notwendig). Daher jetzt durchgestrichen
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Wie bereits hier "befürchtet": Du schmeißt hier mehrere aufgaben sowie auch unterschiedliche Aufgabenstellungen durcheinander.
Während man bei der einen Aufgaben die (Nicht-)Stetigkeit der partiellen Ableitungen zeigen soll, geht es bei der anderen Aufgabe um den Nachweis der (Nicht-)Stetigkeit der ursprünglichen Funktion.
Gruß
Loddar
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Okay, abgesehen davon, dass bei der ersten Aufgabe die Ableitung auf Stetigkeit untersucht werden soll (es gibt keine Aufgabenstellung daher war mir das nicht klar): Wieso untersuche ich bei der zweiten Aufgabe die Stetigkeit anhand von 2 Folgen, und hier nur für eine Folge?
Wenn die Aufgabenstellung bei der zweiten Aufgabe nicht [mm] \gamma [/mm] sondern auch 0 lauten würde, wie würde ich dann vorgehen?
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> Okay, abgesehen davon, dass bei der ersten Aufgabe die
> Ableitung auf Stetigkeit untersucht werden soll (es gibt
> keine Aufgabenstellung daher war mir das nicht klar): Wieso
> untersuche ich bei der zweiten Aufgabe die Stetigkeit
> anhand von 2 Folgen, und hier nur für eine Folge?
>
> Wenn die Aufgabenstellung bei der zweiten Aufgabe nicht
> [mm]\gamma[/mm] sondern auch 0 lauten würde, wie würde ich dann
> vorgehen?
Hallo,
in der ersten Aufgab ist die Stetigkeit der beiden partiellen Ableitungen zu untersuchen im Punkt (0/0).
Wann ist eine Funktion g stetig in (0/0)? Wenn für jede Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen (0/0) konvergiert, die Folge [mm] g(x_n) [/mm] gegen g(0,0) konvergiert.
Bei Deinen partiellen Ableitungen ward nun eine Folge, nämlich [mm] (x_n)=((\bruch{1}{n} [/mm] , [mm] \bruch{1}{n} [/mm] )) gefunden, die gegen (0/0) konvergiert, deren Folge der Funktionswerte [mm] f_x((x_n) [/mm] aber nicht gegen [mm] f_x(0,0) [/mm] konvergiert. Also ist [mm] f_x [/mm] im Punkt (0/0) nicht stetig. Mit der Folge [mm] (x_n)=((\bruch{1}{n} [/mm] , [mm] \bruch{1}{n} [/mm] )) konntest Du die Stetigkeit widerlegen.
Der Gedanke bei der zweiten Aufgabe:
Wenn die Funktion f stetig ist im Punkt (0/0), dann muß für jede Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen (0/0) konvergiert, die Folge [mm] f(x_n) [/mm] gegen [mm] f(0,0)=\gamma [/mm] konvergieren.
Wenn es Dir gelingt, zwei Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] zu finden, für welche die Folgen der Funktionswerte [mm] f(a_n) [/mm] und [mm] f(b_n) [/mm] gegen zwei verschiedene Werte konvergieren, dann ist die Funktion nicht stetig in (0/0).
Wenn Dir [mm] \gamma [/mm] ganz konkret als [mm] \gamma=0 [/mm] vorgegeben wäre, dann könntest Du zum Widerlegen der Stetigkeit eine Folge [mm] (x_n) [/mm] suchen, die gegen (0,0) konvergiert, deren Folge der Funktionswerte jedoch nicht gegen 0 konvergiert.
Und wenn [mm] \gamma=5 [/mm] wäre, könntest Du es genauso versuchen.
Gruß v. Angela
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Hallo Englein,
obwohl du nun schon 4 Jahre hier im Forum dabei bist, schreibst du immer noch sehr unsauber auf.
Setze bitte unbedingt Klammern, wo sie nötig sind!!
> Und das war eigentlich recht logisch. Ich habe hier 2
> Folgen gesucht und geschaut, ob diese in
[mm] \red{(}0,0\red{)}
[/mm]
> stetig sind, also den gleichen Grenzwert haben. Aber was ist nun der
> Unterschied?
>
> Im [mm]R^1[/mm] gehe ich ja so vor, dass ich die Funktion einfach
> gegen 0 laufen lasse und schaue, was ich herausbekomme. In
> diesem Wert ist die Funktion dann stetig, richtig?
Danke
schachuzipus
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