Stetigkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | a) Es sei T: [mm] C^1[0,1] \rightarrow [/mm] K gegeben durch
Tu = u(0) + u'(1),
wobei [mm] \|u\|_{C^1} [/mm] = [mm] \|u\|_{\infty} [/mm] + [mm] \|u'\|_{\infty} [/mm] ist. Zeige, dass T stetig ist mit [mm] \|T\| [/mm] =1.
b) Wir betrachten die gleiche Abbildung, allerdings [mm] C^1 [/mm] mit der äuivalenten Norm [mm] \| [/mm] u [mm] \|_{C^1, \infty} [/mm] := [mm] \max\{ \|u\|_{\infty} , \|u'\|_{\infty} \}.
[/mm]
Zeige, dass T wieder stetig ist mit [mm] \|T\| [/mm] = 2. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht, was dieses u(0) und u'(1) ist?? Ist das einfach eine Funktion aus [mm] C^1 [/mm] ?
Arbeitet T also auf Funktionen?
Ich weiß nicht, kann man das wieder über die "Beschränktheit" zeigen?
Und wie kann ich die Norm [mm] \|T\| [/mm] von dem Teil ausrechnen??
Freue mich über alle Hinweise  .
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> a) Es sei T: [mm]C^1[0,1] \rightarrow[/mm] K gegeben durch
> Tu = u(0) + u'(1),
> wobei [mm]\|u\|_{C^1}[/mm] = [mm]\|u\|_{\infty}[/mm] + [mm]\|u'\|_{\infty}[/mm] ist.
> Zeige, dass T stetig ist mit [mm]\|T\|[/mm] =1.
>
> b) Wir betrachten die gleiche Abbildung, allerdings [mm]C^1[/mm] mit
> der äuivalenten Norm [mm]\|[/mm] u [mm]\|_{C^1, \infty}[/mm] := [mm]\max\{ \|u\|_{\infty} , \|u'\|_{\infty} \}.[/mm]
>
> Zeige, dass T wieder stetig ist mit [mm]\|T\|[/mm] = 2.
> Hallo,
> bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht, was dieses u(0) und
> u'(1) ist?? Ist das einfach eine Funktion aus [mm]C^1[/mm] ?
> Arbeitet T also auf Funktionen?
Ja steht doch da: [mm]T: C^1[0,1] \rightarrow K[/mm].
Aber was ist bei euch K? Irgendein bel. Körper?
> Ich weiß nicht, kann man das wieder über die
> "Beschränktheit" zeigen?
Bei linearen Operatoren ist Stetigkeit äquivalent zur Beschränktheit.
> Und wie kann ich die Norm [mm]\|T\|[/mm] von dem Teil ausrechnen??
Nach oben abschätzen gegen 1 (bzw. 2 im Teil b) und dann ein Element angeben, welches diese obere Abschätzung realisiert (es reicht auch schon "nur" eine Folge anzugeben, welche im Grenzwert es realisiert).
> Freue mich über alle Hinweise .
> Viele Grüße,
> Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
> Aber was ist bei euch K? Irgendein bel. Körper?
Ja, das ist irgendein Körper, nichts genauer festgelegt.
> Nach oben abschätzen gegen 1 (bzw. 2 im Teil b) und dann
> ein Element angeben, welches diese obere Abschätzung
> realisiert (es reicht auch schon "nur" eine Folge
> anzugeben, welche im Grenzwert es realisiert).
Kannst du mir hierbei helfen? Ich muss also wieder ein c finden, so dass
[mm] \|Tu\| \leq [/mm] c [mm] \| [/mm] u [mm] \| [/mm] für alle u [mm] \in C^1[0,1] [/mm] gilt.
Dann haben wir also
[mm] \|Tu \|_{C^1} [/mm] = [mm] \| [/mm] u(0) + u'(1) [mm] \|_{C^1}
[/mm]
[mm] \leq \|u(0)\|_{C^1} [/mm] + [mm] \|u'(1) \|_{C^1}
[/mm]
= [mm] \| [/mm] u(0) [mm] \|_{\infty} [/mm] + [mm] \|u'(0)\|_{\infty} [/mm] + [mm] \| [/mm] u'(1) [mm] \|_{C^1}
[/mm]
= [mm] \sup |u_j(0)| [/mm] + [mm] \sup|u_j'(1)| [/mm] + [mm] sup|u_j'(1)|
[/mm]
wegen [mm] \|f\|_{C^1} [/mm] = [mm] \sum_{|\alpha| \leq 1} \sup_{x \in \R} |D^{\alpha}f(x)|
[/mm]
und [mm] \|x\|_{\infty} [/mm] = [mm] sup|x_j|.
[/mm]
Wie kann ich aber nun die sups weiter abschätzen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > Aber was ist bei euch K? Irgendein bel. Körper?
>
> Ja, das ist irgendein Körper, nichts genauer festgelegt.
ERs wird K = [mm] \IR [/mm] oder = [mm] \IC [/mm] sein !!!
>
> > Nach oben abschätzen gegen 1 (bzw. 2 im Teil b) und dann
> > ein Element angeben, welches diese obere Abschätzung
> > realisiert (es reicht auch schon "nur" eine Folge
> > anzugeben, welche im Grenzwert es realisiert).
>
> Kannst du mir hierbei helfen? Ich muss also wieder ein c
> finden, so dass
> [mm]\|Tu\| \leq[/mm] c [mm]\|[/mm] u [mm]\|[/mm] für alle u [mm]\in C^1[0,1][/mm] gilt.
>
> Dann haben wir also
> [mm]\|Tu \|_{C^1}[/mm] = [mm]\|[/mm] u(0) + u'(1) [mm]\|_{C^1}[/mm]
>
> [mm]\leq \|u(0)\|_{C^1}[/mm] + [mm]\|u'(1) \|_{C^1}[/mm]
>
> = [mm]\|[/mm] u(0) [mm]\|_{\infty}[/mm] + [mm]\|u'(0)\|_{\infty}[/mm] + [mm]\|[/mm] u'(1)
> [mm]\|_{C^1}[/mm]
>
> = [mm]\sup |u_j(0)|[/mm] + [mm]\sup|u_j'(1)|[/mm] + [mm]sup|u_j'(1)|[/mm]
>
> wegen [mm]\|f\|_{C^1}[/mm] = [mm]\sum_{|\alpha| \leq 1} \sup_{x \in \R} |D^{\alpha}f(x)|[/mm]
>
> und [mm]\|x\|_{\infty}[/mm] = [mm]sup|x_j|.[/mm]
>
> Wie kann ich aber nun die sups weiter abschätzen?
Du stellst Dich umständlich an.
$|Tu| = |u(0)+u'(1)| [mm] \le [/mm] |u(0)|+|u'(1)| [mm] \le ||u||_{\infty} +||u'||_{\infty} [/mm] = [mm] ||u||_{C^1}$, [/mm]
also ist T stetig und $||T|| [mm] \le [/mm] 1$
Für u(t) := 1 ist $|Tu| =1 = [mm] ||u||_{C^1}$,
[/mm]
somit ist $||T||= 1$
FRED
>
> Viele Grüße,
> Riley
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
> [mm]||Tu||_{C^1} = |u(0)+u'(1)| \le |u(0)|+|u'(1)| \le ||u||_{\infty} +||u'||_{\infty} = ||u||_{C^1}[/mm],
>
> also ist T stetig und [mm]||T|| \le 1[/mm]
>
> Für u(t) := 1 ist [mm]||Tu||_{C^1} =1 = ||u||_{C^1}[/mm],
>
> somit ist [mm]||T||= 1[/mm]
Kann ich das für die (ii) dann analog so machen :
[mm]||Tu||_{C^1} = |u(0)+u'(1)| \le |u(0)|+|u'(1)| \le ||u||_{\infty} +||u'||_{\infty} \leq 2 \max\{ \|u\|_{\infty}, \|u'\|_{\infty} \}=2 ||u||_{C^1}[/mm] ??
... und [mm] \|T\| \leq [/mm] 2, aber warum gilt Gleichheit?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
1. In meiner letzten Antwort mußte ich etwas verbessern:
statt [mm] ||Tu||_{C^1} [/mm] schreibe $|Tu|$
2. Zu Deiner Frage: " und $ [mm] \|T\| \leq [/mm] $ 2, aber warum gilt Gleichheit? "
Nimm mal u(t) = [mm] t^2+2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
das verstehe ich nicht. Nimmst du nur den Betrag, weil u(0) und u'(1) ja Zahlen sind?
Aber warum
> statt [mm]||Tu||_{C^1}[/mm] schreibe [mm]|Tu|[/mm]
??
Ich muss doch zeigen, dass [mm] \| [/mm] Tu [mm] \| \leq [/mm] c [mm] \|u\| [/mm] ist, sonst hilft mir die Ungleichungskette aus obigem Beitrag doch nichts?
Hat das hier dann gestimmt:
[mm] ||Tu||_{C^1} [/mm] = |u(0)+u'(1)| [mm] \le [/mm] |u(0)|+|u'(1)| [mm] \le ||u||_{\infty} +||u'||_{\infty} \leq [/mm] 2 [mm] \max\{ \|u\|_{\infty}, \|u'\|_{\infty} \}=2 ||u||_{C^1} [/mm] ?
Wie funktioniert das mit u(t) = [mm] 2t^2 [/mm] + 2 ?
Dann hab ich u(0) = 2 und u'(t) = 2t, also
Tu = 2 + 2 = 4 ??
Aber die Norm davon, wäre doch dann auch wieder 4 da es einfach nur noch eine Zahl ist?
Viele Grüße,
Riley
>
> 2. Zu Deiner Frage: " und [mm]\|T\| \leq[/mm] 2, aber warum gilt
> Gleichheit? "
>
> Nimm mal u(t) = [mm]t^2+2[/mm]
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Di 17.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> das verstehe ich nicht. Nimmst du nur den Betrag, weil
> u(0) und u'(1) ja Zahlen sind?
> Aber warum
> > statt [mm]||Tu||_{C^1}[/mm] schreibe [mm]|Tu|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ??
T bildet doch nach K ab ( K = \IR oder = \IC) und die Norm auf K ist der Betrag !!
Damit hast Du:
$ |Tu| $ = |u(0)+u'(1)| $ \le $ |u(0)|+|u'(1)| $ \le ||u||_{\infty} +||u'||_{\infty} \leq $
2 $ \max\{ \|u\|_{\infty}, \|u'\|_{\infty} \}=2 $ \| $ u $ \|_{C^1, \infty} $ } $
Also: ||T|| \le 2
> Ich muss doch zeigen, dass [mm]\|[/mm] Tu [mm]\| \leq[/mm] c [mm]\|u\|[/mm] ist,
> sonst hilft mir die Ungleichungskette aus obigem Beitrag
> doch nichts?
>
> Hat das hier dann gestimmt:
> [mm]||Tu||_{C^1}[/mm] = |u(0)+u'(1)| [mm]\le[/mm] |u(0)|+|u'(1)| [mm]\le ||u||_{\infty} +||u'||_{\infty} \leq[/mm]
> 2 [mm]\max\{ \|u\|_{\infty}, \|u'\|_{\infty} \}=2 |$ \| $ u $ \|_{C^1, \infty} $ [/mm]
> ?
>
> Wie funktioniert das mit u(t) = [mm]2t^2[/mm] + 2 ?
Sei u(t) = [mm] t^2+2. [/mm] Dann ist $ [mm] \| [/mm] $ u $ [mm] \|_{C^1, \infty} [/mm] $ = 2
Somit: |Tu| = 4 = 2$ [mm] \| [/mm] $ u $ [mm] \|_{C^1, \infty} [/mm] $ , folglich: ||T|| = 2
FRED
> Dann hab ich u(0) = 2 und u'(t) = 2t, also
> Tu = 2 + 2 = 4 ??
>
> Aber die Norm davon, wäre doch dann auch wieder 4 da es
> einfach nur noch eine Zahl ist?
>
>
> Viele Grüße,
> Riley
>
> >
> > 2. Zu Deiner Frage: " und [mm]\|T\| \leq[/mm] 2, aber warum gilt
> > Gleichheit? "
> >
> > Nimm mal u(t) = [mm]t^2+2[/mm]
> >
> > FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Di 17.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für deine Antwort! Noch zwei kleine Nachfragen.
Folgt aus |Tu| = [mm] \|u\|_{C^1} [/mm] , dass [mm] \|T\| [/mm] = 1, wegen |Tu| [mm] \leq \|T\| \|u\| [/mm] ?
Und warum ist bei (ii) [mm] \|u\|_{C^1, \infty} [/mm] = 2 ?
Ich hatte gerechnet [mm] \|u\|_{\infty} [/mm] = [mm] sup_{t \in [0,1]} [/mm] u(t) = [mm] 1^2 [/mm] + 2 = 3?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> danke für deine Antwort! Noch zwei kleine Nachfragen.
>
> Folgt aus |Tu| = [mm]\|u\|_{C^1}[/mm] , dass [mm]\|T\|[/mm] = 1, wegen |Tu|
> [mm]\leq \|T\| \|u\|[/mm] ?
bist Du beim ersten Aufgabenteil ? Wenn ja; wir hatten schon: ||T|| [mm] \le [/mm] 1.
Wenn Du nun ein u findest mit |Tu| = $ [mm] \|u\|_{C^1} [/mm] $, so folgt : ||T|| = 1
>
> Und warum ist bei (ii) [mm]\|u\|_{C^1, \infty}[/mm] = 2 ?
>
> Ich hatte gerechnet [mm]\|u\|_{\infty}[/mm] = [mm]sup_{t \in [0,1]}[/mm] u(t)
> = [mm]1^2[/mm] + 2 = 3?
Du hast recht. Ich habe mich verschrieben ! betrachte u(t) = [mm] -t^2+2
[/mm]
FRED
>
> Viele Grüße,
> Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
okay, dankeschön. Nun hab ichs endlich verstanden
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
doch noch eine Anmerkung zu der Funktion u(t) = [mm] -t^2 [/mm] + 2
u(0) = 2 und u'(t) = -2t, also u'(1) = -2.
Dann passt das mit dem max gleich 2 zwar schon, aber
|Tu| = |u(0) + u'(1) | = 0 ...
... oder hab ich mich verrechnet?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> doch noch eine Anmerkung zu der Funktion u(t) = [mm]-t^2[/mm] + 2
> u(0) = 2 und u'(t) = -2t, also u'(1) = -2.
> Dann passt das mit dem max gleich 2 zwar schon, aber
>
> |Tu| = |u(0) + u'(1) | = 0 ...
>
> ... oder hab ich mich verrechnet?
Nein, aber ich habe mich schon wieder geirrt
ich mach mich noch mal auf die Suche
FRED
>
> Viele Grüße,
> Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich hab gerade im Werner etwas passendes gefunden:
u(t) = (t - [mm] \frac{1}{2})^2 [/mm] + [mm] \frac{3}{4},
[/mm]
damit müsste es klappen!
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Prima ! das passt
FRED
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