Stetigkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:08 Di 24.03.2009 | | Autor: | MontBlanc |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x}{x-3} [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] unter Ausschluss von 3 und -3 + x=a für x=-3.
Gibt es ein a für das die Fnktion f an der Stelle -3 stetig ist ? |
HI,
mal wieder die Stetigkeit...
Ich habe das einfach mal ganz normal gerechnet und dabei zu meinem Überraschen übersehen, dass da steht x=a... wie geht das dann ? Wählt man dann einfach x=-3 und ist fertig ? Wenn dort stünde y=a würde ich rechts- und linksseitigen Grenzwert bestimmen (der ist hier 0,5) und a auch mit 0,5 wählen, und wäre fertig... Das dürfte hier aber nicht funzen.
Lg,
exeqter
|
|
| |
|
Hallo eXeQter,
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x}{x-3}[/mm] für alle
> [mm]x\in\IR[/mm] unter Ausschluss von 3 und -3 + x=a für x=-3. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wie für x=-3?
Das ist komisch, ist nicht eher gemeint:
[mm] $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{x-3}, & \mbox{für } x\neq 3 \\ a, & \mbox{für } x=3 \end{cases}$
[/mm]
Wie dem auch sei, wenn du für den linksseitigen Limes für [mm] $x\to [/mm] 3$ berechnest, so ist der [mm] $-\infty$, [/mm] der rechtsseitige aber [mm] $+\infty$
[/mm]
Das kannst du durch keine Definition der Welt an der Stelle $x=3$ (stetig) heben.
Bei $x=3$ hat f eine Polstelle, da ist nix zu drehen ...
>
> Gibt es ein a für das die Fnktion f an der Stelle -3 stetig
> ist ?
Verstehe ich wieder nicht!
Außerhalb von $x=3$ ist [mm] $f(x)=\frac{x}{x-3}$ [/mm] doch überall stetig, insbesondere in $x=-3$ mit Funktionswert [mm] $f(-3)=\frac{1}{2}$
[/mm]
> HI,
>
> mal wieder die Stetigkeit...
>
> Ich habe das einfach mal ganz normal gerechnet und dabei zu
> meinem Überraschen übersehen, dass da steht x=a... wie geht
> das dann ? Wählt man dann einfach x=-3 und ist fertig ?
> Wenn dort stünde y=a würde ich rechts- und linksseitigen
> Grenzwert bestimmen (der ist hier 0,5) und a auch mit 0,5
> wählen, und wäre fertig... Das dürfte hier aber nicht
> funzen.
Wieder ?? 
Die einzig kritische Stelle ist lt. deiner Definition doch $x=+3$, für $x=-3$ ist die Funktion doch durch den Bruch definiert ...
Schaue nochmal den genauen Wortlaut der Aufgabe nach, so ergibt das (für mich) keinen Sinn ...
>
> Lg,
>
> exeqter
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hi,
die Frage war schon richtig so. Zu der Def.Lücke an der Stelle 3 kommt noch eine Lücke bei -3 (aus der Aufgabenstellung). Und diese Lücke an -3 soll stetig gehoben werden, mittels einer "Geraden" x=a die nur an der Stelle -3 definiert sein soll ... Ich war auch verwundert, mit y=a könnte ich was anfangen.
War vielleicht etwas unglücklich oben, es sollte so aussehen:
[mm] f(x)=\bruch{x}{x-3} [/mm] für x [mm] \in \IR \backslash \{-3 ; 3\} [/mm] und x=a für x=-3
Lg,
exeqter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Di 24.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> die Frage war schon richtig so. Zu der Def.Lücke an der
> Stelle 3 kommt noch eine Lücke bei -3 (aus der
> Aufgabenstellung). Und diese Lücke an -3 soll stetig
> gehoben werden, mittels einer "Geraden" x=a die nur an der
> Stelle -3 definiert sein soll ... Ich war auch verwundert,
> mit y=a könnte ich was anfangen.
>
> War vielleicht etwas unglücklich oben, es sollte so
> aussehen:
>
> [mm]f(x)=\bruch{x}{x-3}[/mm] für x [mm]\in \IR \backslash \{-3 ; 3\}[/mm] und
> x=a für x=-3
dort sollte doch sicher $f(x)=a$ für $x=-3$ stehen (sinnvollerweise würde ich das direkt als [mm] $f(-3):=a\,$ [/mm] schreiben!), wobei die Aufgabe echt ziemlich banal ist.
Du weißt doch: [mm] $f\,$ [/mm] ist auf [mm] $D:=\IR \setminus\{3\}$ [/mm] durch
[mm] $$f(x)=\begin{cases} \frac{x}{x-3}, & \mbox{für } x \in D\setminus\{-3\} \\ a, & \mbox{für } x=-3 \end{cases}$$
[/mm]
definiert. Und Du weißt sicher, dass [mm] $f\,$ [/mm] genau dann stetig in der Stelle [mm] $x=\,-3$ [/mm] ist, wenn [mm] $f(-3)=\lim_{x \to -3}f(x)$ [/mm] gilt.
Mit anderen Worten:
Es ist [mm] $a=\lim_{x \to -3}f(x)$ [/mm] zu berechnen. Das kann man nun natürlich machen, aber man kann es sich hier noch einfacher machen:
Denn da man weiß, dass [mm] $g(x):=\frac{x}{x-3}$ [/mm] ($x [mm] \in \IR \setminus \{3\}$) [/mm] eh stetig ist (Warum?), ist hier nichts anderes wie [mm] $a\,=\,g(-3)$ [/mm] auszurechnen. Für genau dieses [mm] $a\,$ [/mm] ist dann die obige auf [mm] $\IR \setminus \{3\}$ [/mm] definierte Funktion [mm] $f\,$ [/mm] stetig.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 Di 24.03.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
wenn da steht f(x)=a ist mir klar, wie es funktioniert, mich hat nur das x=a irritiert.
Danke für die Mühe,
exeqter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi,
>
> wenn da steht f(x)=a ist mir klar, wie es funktioniert,
> mich hat nur das x=a irritiert.
ansonsten ist die Aufgabe aber sinnfrei:
'Es soll [mm] $x\,=\,a$ [/mm] für [mm] $x\,=\,-3$ [/mm] gelten' kann man dann ja nur als [mm] $a\,=\,x\,=\,-3 \Rightarrow [/mm] a=-3$ lesen, was überhaupt nichts mehr mit einer Untersuchung von [mm] $f\,$ [/mm] auf Stetigkeit (an irgendeiner Stelle) zu tun hat. Wo findet man denn den Originallaut der Aufgabenstellung? (Buch?)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Mi 25.03.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
das ist eine Klausur-Aufgabe aus meinem parallel Mathe-LK gewesen. Es handelte sich tatsächlich um einen Tippfehler. Es hätte heißen müssen:
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x}{x-3}, & \mbox{für } x\in\IR\backslash\{-3; 3\} \\ a, & \mbox{für } x=-3 \end{cases}
[/mm]
Dann ist ja -3 eine zusätzliche Definitionslücke, die man heben kann indem man ein "a" geeignet bestimmt. In diesem Fall ist das a=0,5 zu wählen aufgrund der Bedingungen für Stetigkeit:
[mm] \limes_{x \rightarrow -3^{-}}=\limes_{x \rightarrow -3^{+}}=f(-3)
[/mm]
Lg,
exeqter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Do 26.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi,
>
> das ist eine Klausur-Aufgabe aus meinem parallel Mathe-LK
> gewesen. Es handelte sich tatsächlich um einen Tippfehler.
> Es hätte heißen müssen:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x}{x-3}, & \mbox{für } x\in\IR\backslash\{-3; 3\} \\ a, & \mbox{für } x=-3 \end{cases}[/mm]
>
> Dann ist ja -3 eine zusätzliche Definitionslücke, die man
> heben kann indem man ein "a" geeignet bestimmt. In diesem
> Fall ist das a=0,5 zu wählen aufgrund der Bedingungen für
> Stetigkeit:
>
> [mm]\red{\limes_{x \rightarrow -3^{-}}=\limes_{x \rightarrow -3^{+}}}=f(-3)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Man weiß, was Du meinst, aber dort gehört
$$\limes_{x \rightarrow -3^{-}}\blue{f(x)}=\limes_{x \rightarrow -3^{+}}\blue{f(x)}=f(-3)}\;\;\;\;\;\big(\;=a\big)$$
hin. Diese Bedingung ist, was man erwähnen sollte, im Falle der obigen Funktion sowohl notwendig als auch hinreichend dafür, dass $f\,$ an der Stelle $-3$ stetig ist.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
