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| Aufgabe | Sei f eine Abbildung
f: [mm] \IR²> \IR
[/mm]
[mm] f=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{x²+y²}} , & (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
Untersuchen Sie an der Stelle (0,0) auf die Stetigkeit
Ist f an der Stelle (0,0) total Differenezierbar ? |
Hallo liebe Matheraumuser
Obwohl ich meist ,Stetigeiten leicht von Abildungen R-> R leicht nachprüfen kann ,bereit mir diese Abbildung f starke Probleme
Würde für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] Die Vorschrift [mm] \bruch{xy}{{x²+y²}} [/mm] gelten ,hätte ich mit der Folge [mm] x_{k}={1/k,1/k} [/mm] mit Leichtigkeit gezeigt ,dass f an der Stelle (0,0) nicht stetig ist.
Nachdem ich mir viele Nullfolge [mm] x_{k}konsturiert [/mm] habe ,stellte ich fest ,dass f stetig sein muss 
nun glaube ich auch mittlerweile dass f stetig ist an der stelle (0,0).
Ich müsste jetzt beweisen ,dass alle beliebigen Nullfolgen [mm] z_{k} [/mm]
der Limes [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}f(z_{k} [/mm] )=0 ist.
Nun komme ich nicht weiter ,
ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Was ich bisher geschaft habe :
Sei [mm] x_{k} [/mm] Eine Nullfolge in [mm] \IR [/mm] und [mm] y_{k} [/mm] auch Eine Nullfolge in [mm] \IR
[/mm]
dann ist [mm] z_{k}={x_{k},y_{k}} [/mm] dementsprechend eine Nullfolge in [mm] \IR²
[/mm]
Dann betrachte [mm] f(z_{k})=\bruch{x_{k}*y_{k}}{\wurzel{x_{k}²+y_{k}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{y_{k}}{\wurzel {1+\bruch{y_{k}²}{x_{k}²}}}
[/mm]
und ab hier komme ich nicht mehr weiter , bzw meine Nerven machen nicht mehr mit :D
vielleicht kann es sein ,dass die Abbildung f nicht stetig ist und mir keine passende Nullfolge eingefallen ist
ich hoffe ihr könnt mir helfen
vg decehakan
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> und ab hier komme ich nicht mehr weiter , bzw meine
> Nerven machen nicht mehr mit :D
Hallo,
ich denke, daß ein Übergang zu Polarkoordinaten Deinen Nerven guttäe.
Gruß v. Angela
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und wie mache ich das?
Das mit Polarkordinaten hatten wir nichts zu tun gehabt ,es muss sicherlich ein anderen weg geben .Denn Polarkoordinaten kenne ich nur aus der Physik und in den Vorlesungen wurde auch keine Polarkordinaten erwähnt bzw behandelt.
ja danke angel ,für deine ausführliche ,lange Antwort ,hat mir echt geholfen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Decehakan!
Auch ich würde hier eindeutig den Weg über die Umwandlung in Polarkoordinaten beschreiten.
Mit $x \ = \ [mm] r*\cos\varphi$ [/mm] und $y \ = \ [mm] r*\sin\varphi$ [/mm] ergibt sich:
[mm] $$\bruch{x*y}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{r*\cos\varphi*r*\sin\varphi}{\wurzel{r^2*\cos^2\varphi+r^2*\sin^2\varphi}} [/mm] \ = \ ...$$
Anschließend den Grenzwert [mm] $r\rightarrow [/mm] 0$ betrachten. Ist dieser für beliebiges [mm] $\varphi$ [/mm] immer derselbe?
Dein Ansatz über entsprechende Nullfolgen funktioniert nur für den Nachweis der Nicht-Stetigkeit.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Decehakan |
Danke Lodor ,das hat mir geholfen ,hätte Angel ein bisschen mehr dazu geschrieben ,hättest mir auch weiterhelfen können...
ich hab nach paar umformung rausbekommen
[mm] =r*cos(\alpha)*sin(\alpha) [/mm] und r [mm] \overrightarrow{}0 [/mm] => 0 und somit ist die Abbildung f an der Stelle (0,0) stetig :D
liebe grüße an euch beide
und was nettes für euch
link gelöscht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
So gehts auch:
Es ist [mm] (|x|-|y|)^2 \ge [/mm] 0, somit $2|x||y| [mm] \le x^2+y^2$, [/mm] folglich
$ |f(x,y)| [mm] \le \bruch{1}{2}\wurzel{x^2+y^2}$
[/mm]
FRED
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