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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Mo 16.11.2009 | | Autor: | SilviaS. |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktionen f,g : R -> R mit
f{ cos (1/x) falls x ungleich 0
1 falls x gleich 0 }
auf Stetigkeit für alle x e R
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reicht es hier zu sagen das der lim für x gegen 0 bei dem cos (1/x) keinen genauen wert ergibt bzw. im intervall von (-1,1) liegt und die funktion daher nicht stetig ist ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Funktionen f,g : R -> R mit
> f{ cos (1/x) falls x ungleich 0
> 1 falls x gleich 0 }
>
> auf Stetigkeit für alle x e R
Es ist also $f(x) = cos(1/x)$ für x [mm] \not= [/mm] 0 und $f(0) = 1$
Ist Dir klar, dass f in jedem x [mm] \not=0 [/mm] stetig ist ?
Zu x = 0: Suche mal eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit: [mm] x_n [/mm] > 0 für jedes n, [mm] x_n \to [/mm] 0 (für n [mm] \to \infty) [/mm] und [mm] $f(x_n) [/mm] = 0$ für jedes n.
FRED
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>
> reicht es hier zu sagen das der lim für x gegen 0 bei dem
> cos (1/x) keinen genauen wert ergibt bzw. im intervall von
> (-1,1) liegt und die funktion daher nicht stetig ist ?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mo 16.11.2009 | | Autor: | SilviaS. |
"Ist Dir klar, dass f in jedem x $ [mm] \not=0 [/mm] $ stetig ist ?
"
Ja das ist mir klar... aber die frage ist hier ja ob es für alle x e R gilt und wie man das genau zeigt das eben eben nicht stetig ist !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> "Ist Dir klar, dass f in jedem x [mm]\not=0[/mm] stetig ist ?
> "
> Ja das ist mir klar... aber die frage ist hier ja ob es
> für alle x e R gilt und wie man das genau zeigt das eben
> eben nicht stetig ist !
f ist in jedem x [mm] \in \IR [/mm] mit x [mm] \not= [/mm] 0 stetig
f ist in x= 0 nicht stetig und wie Du das nachweisen kannst, habe ich Dir oben geschrieben
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mo 16.11.2009 | | Autor: | SilviaS. |
so ich hab mal probiert das nachzuweisen ..bin aber wirklich nicht drauf gekommen.. wie genau würde deine lösung denn aussehen ?? 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
> so ich hab mal probiert das nachzuweisen ..bin aber
> wirklich nicht drauf gekommen.. wie genau würde deine
> lösung denn aussehen ??
Fred hat Dir doch schon ein Kochrezept geliefert. $f$ ist in $x=0$ genau dann stetig, wenn für jede Folge [mm] $x_n\rightarrow [/mm] 0$ auch
[mm] $f(x_n)\rightarrow [/mm] 1$
gilt (jeweils für [mm] $n\to\infty$). [/mm] Dieses Kriterium (bzw. diese Definition) heißt Folgenkriterium.
Nun gibt es aber eine Folge, für die dies nicht gilt: Betrachte nun die Folge
[mm] $x_n:=\frac{1}{2\pi n+\frac{\pi}{2}}>0$ ,$n\in\IN$
[/mm]
Diese Folge konvergiert gegen $0$, d.h.
[mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=0$
[/mm]
Jedoch gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\cos(\frac{1}{x_n})=-\sin(2\pi n)=0\neq [/mm] 1$
Damit hast Du eine Folge gefunden, die dieser Bedingung nicht genügt. Somit ist die Funktion in $x=0$ nicht stetig.
Gruß Denny
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