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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Do 19.11.2009 | | Autor: | Steirer |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, in welchen Punkten die folgenden Funktionen [mm] f:\IR\to\IR [/mm] stetig sind:
[mm] a)f(x)=\begin{cases}-x, & \mbox{falls} x<0 \mbox{ oder} x>1 \\x^2, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
[mm] b)f(x)=\begin{cases}x^2+2x+1, & \mbox{falls} -1
[mm] c)f(x)=\begin{cases}x, & \mbox{falls} x\in\IQ \\1-x, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
[mm] d)f(x)=\begin{cases}\bruch{1}{q}, & \mbox{falls} x=\bruch{p}{q}\in\IQ \\0, & \mbox{falls}x\not\in\IQ \end{cases}
[/mm]
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a) hab ich folgendermaßen gelöst:
[mm] \limes_{x\rightarrow\00^-}=\limes_{x\rightarrow\00^+}=f(0) [/mm] muß wahr sein, dass in dem Punkt 0 die Funktion stetig ist.
(Gibt es eine einfachere Möglichkeit Stetigkeit zu zeigen?)
[mm] f(0)=0^2=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\00^-}=-0=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\00^+}=0^2=0
[/mm]
daraus folgt die funktion is im Punkt 0 stetig oder?
das gleiche mache ich für den Punkt 1:
[mm] f(1)=1^2=1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\01^-}=-1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\01^+}=1^2=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(1)\not= [/mm] stetig
die restlichen punkte sind stetig weil [mm] f:\IR\to\IR [/mm] abgebildet wird.
b) ist analog zu a)
f(-1)=-2
[mm] \limes_{x\rightarrow\0-1^-}=-2
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\0-1^+}=1+1=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(-1)\not= [/mm] stetig
f(0)=1
[mm] \limes_{x\rightarrow\00^-}=1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\00^+}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(0)= stetig
c) ich weis das es zwischen 2 rationalen Zahlen unendlich viele reeele zahlen gibt.
Weiters weis ich das bei jeder rationalen zahl die funktion auf x spring also in x nicht stetig ist. Außnahme ist [mm] f(\bruch{1}{2}) [/mm] da
[mm] f(\bruch{1}{2})=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\0\bruch{1}{2}^-}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\0\bruch{1}{2}^+}=1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Kann man das irgendwie schöner mathemathisch formulieren das alle funktionswerte von rationalen Zahlen nicht stetig sind und die restlichen reelen Zahlen schon?
d) ist meiner meinung nach gleich wie c nur das die menge der rationalen zahlen reduziert wurde auf teilerfremde Zahlen.( Teilerfremde sind alle wo eine 1 und eine primzahl vorkommt oder?)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Fr 20.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Untersuchen Sie, in welchen Punkten die folgenden
> Funktionen [mm]f:\IR\to\IR[/mm] stetig sind:
>
> [mm]a)f(x)=\begin{cases}-x, & \mbox{falls} x<0 \mbox{ oder} x>1 \\x^2, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> [mm]b)f(x)=\begin{cases}x^2+2x+1, & \mbox{falls} -1
>
> [mm]c)f(x)=\begin{cases}x, & \mbox{falls} x\in\IQ \\1-x, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> [mm]d)f(x)=\begin{cases}\bruch{1}{q}, & \mbox{falls} x=\bruch{p}{q}\in\IQ \\0, & \mbox{falls}x\not\in\IQ \end{cases}[/mm]
>
> a) hab ich folgendermaßen gelöst:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\00^-}=\limes_{x\rightarrow\00^+}=f(0)[/mm]
> muß wahr sein, dass in dem Punkt 0 die Funktion stetig
> ist.
Unter der Voraussetzung, dass diese einseitigen Limites existieren (was sie bei c) und d) nicht tun).
> [mm]f(0)=0^2=0[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\00^-}=-0=0[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\00^+}=0^2=0[/mm]
>
> daraus folgt die funktion is im Punkt 0 stetig oder?
>
> das gleiche mache ich für den Punkt 1:
>
> [mm]f(1)=1^2=1[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\01^-}=-1[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\01^+}=1^2=1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(1)\not=[/mm] stetig
OK, aber falsch formuliert: nicht "f(-1) ist nicht stetig" sondern "f ist nicht stetig im Punkt -1".
> die restlichen punkte sind stetig weil [mm]f:\IR\to\IR[/mm]
> abgebildet wird.
Nein, sondern weil $-x$ und [mm] $x^2$ [/mm] Kompositionen stetiger Funktionen und damit stetig sind.
> b) ist analog zu a)
>
> f(-1)=-2
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") $f(-1)=2$.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0-1^-}=-2[/mm]
Der Limes ist 2.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0-1^+}=1+1=2[/mm]
Der Limes ist 0.
> [mm]\Rightarrow f(-1)\not=[/mm] stetig
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> f(0)=1
> [mm]\limes_{x\rightarrow\00^-}=1[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\00^+}=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(0)= stetig
>
> c) ich weis das es zwischen 2 rationalen Zahlen unendlich
> viele reeele zahlen gibt.
> Weiters weis ich das bei jeder rationalen zahl die funktion
> auf x spring also in x nicht stetig ist. Außnahme ist
> [mm]f(\bruch{1}{2})[/mm] da
> [mm]f(\bruch{1}{2})=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0\bruch{1}{2}^-}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0\bruch{1}{2}^+}=1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
Das ist der einzige Wert, für den diese beiden Limites existieren.
> Kann man das irgendwie schöner mathemathisch formulieren
> das alle funktionswerte von rationalen Zahlen nicht stetig
> sind und die restlichen reelen Zahlen schon?
Das ist falsch. Stetig ist diese Funktion nur am Punkt [mm] $x=\bruch{1}{2}$.
[/mm]
Überlege dir folgendes: wenn f im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, so gilt für jede beliebige Folge [mm] $x_n$, [/mm] die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert, dass die Folge [mm] $f(x_n)$ [/mm] konvergiert, und zwar gegen [mm] $f(x_0)$.
[/mm]
Nun betrachte zwei Folgen [mm] $x_n$, $y_n$, [/mm] die gegen eine beliebige Zahl [mm] $x_0$ [/mm] konvergieren, wobei die eine Folge aus lauter rationalen Zahlen [mm] $x_n\in\IQ$ [/mm] besteht, die Folge [mm] $y_n$ [/mm] aus lauter irrationalen Zahlen [mm] $y_n\notin\IQ$. [/mm] (Solche Folgen gibt es immer.) Dann ist
[mm] f(x_n) = x_n [/mm], [mm]f(y_n) = 1-y_n[/mm] .
Folglich konvergieren [mm] $f(x_n)$ [/mm] gegen [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $f(y_n)$ [/mm] gegen [mm] $1-x_0$. [/mm] Für alle Werte außer [mm] $x_0=\bruch{1}{2}$ [/mm] kann f also nicht stetig sein.
> d) ist meiner meinung nach gleich wie c nur das die menge
> der rationalen zahlen reduziert wurde auf teilerfremde
> Zahlen.( Teilerfremde sind alle wo eine 1 und eine primzahl
> vorkommt oder?)
"Gleich wie c)" würde ich nicht sagen. Führe doch dieselbe Überlegung durch, die ich bei c) vorgeführt habe. Was bekommst du heraus?
Viele Grüße
Rainer
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