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| Aufgabe | Zeigen Sie die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion
f : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit den Funktionswerten f(x) = 1 / [mm] (x^{2} [/mm] + 2).
Zur Erinnerung: Gleichmäßige Stetigkeit heißt im vorliegenden Fall, dass es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 gibt mit |f(x) - f(y)| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle x, y [mm] \in \IR [/mm] mit |x - y| < [mm] \delta. [/mm] |
Hallo =)
Könnte mir vielleicht jemand helfen, wie man Stetigkeit mit dem [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] nun richtig beweißt? Irgendwie hab ich dir Erklärungen von unserm Professor nicht verstanden, weil halt alles wieder nur mit komplizierten Begriffen erklärt wurde. Ich zeichne mir zwar bei jeder Aufgabe mit Stetigkeit eine Skizze dazu und weiß dann halt ob es Stetigkeit vorliegt oder nicht, aber den Lösungsweg mit dem [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] hab ich nicht verstanden. Toll wäre es, wenn es an diesem Beispiel gezeigt wird, oder an einem anderen einfachen, dass ich die Grundschritte weiß.
Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir etwas weiterhelfen könntet :)
liebe Grüße...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:46 Mo 24.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion
> [mm]f : \IR \to \IR[/mm] mit den Funktionswerten [mm]f(x) = 1 / (x^{2} + 2) [/mm].
> Zur Erinnerung: Gleichmäßige Stetigkeit heißt im
> vorliegenden Fall, dass es zu jedem [mm]\varepsilon > 0 [/mm] ein
> [mm]\delta > 0[/mm] gibt mit [mm]|f(x) - f(y)| < \varepsilon[/mm] für alle
> [mm]x, y \in \IR[/mm] mit [mm]|x - y| < \delta.[/mm]
> Hallo =)
> Könnte mir vielleicht jemand helfen, wie man Stetigkeit
> mit dem [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]\delta[/mm] nun richtig beweißt?
> Irgendwie hab ich dir Erklärungen von unserm Professor
> nicht verstanden, weil halt alles wieder nur mit
> komplizierten Begriffen erklärt wurde. Ich zeichne mir
> zwar bei jeder Aufgabe mit Stetigkeit eine Skizze dazu und
> weiß dann halt ob es Stetigkeit vorliegt oder nicht, aber
> den Lösungsweg mit dem [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]\delta[/mm] hab ich
> nicht verstanden. Toll wäre es, wenn es an diesem Beispiel
> gezeigt wird, oder an einem anderen einfachen, dass ich die
> Grundschritte weiß.
Erst einmal geht es hier um gleichmäßige Stetigkeit, das heisst, dass [mm] $\delta$ [/mm] nur von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängt, aber nicht von x und y.
Ist dir denn klar, was das [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] mit anschaulichen Vorstellung der Stetigkeit zu tun hat? Ich hatte das vor einiger Zeit hier erklärt.
Zur Aufgabe selber: schreib dir doch auf, was du zeigen sollst: angenommen du hast ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gegeben. Wie musst du [mm] $\delta$ [/mm] wählen, damit aus [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] folgt, dass [mm] $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$, [/mm] also
[mm] \left| \bruch{1}{x^2+2} - \bruch{1}{y^2+2} \right| = \bruch{|y^2-x^2|}{(x^2+2)(y^2+2)} = |x-y| \bruch{|x+y|}{(x^2+2)(y^2+2)} < \varepsilon [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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