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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Mo 21.01.2013 | | Autor: | KKUT91 |
Hallo :)
Hab hier folgende Funktion die ich überall stetig machen soll:
[mm] (x^2-1)/(x-1)
[/mm]
Es gibt hier 4 Punkte auf die Aufgabe, deswegen frag ich mich ob es reicht wenn ich das Binom in Linearfaktoren aufspalte und kürze damit dann nur noch hier steht y = x+1. Denn eig. wär die Funktion ja dann schon stetig oder täusche ich mich da?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo :)
> Hab hier folgende Funktion die ich überall stetig machen
> soll:
>
> [mm](x^2-1)/(x-1)[/mm]
[mm] $f\colon \IR \supseteq [/mm] D [mm] \ni [/mm] x [mm] \mapsto f(x):=(x^2-1)/(x-1) \in \IR$ [/mm] ist ja nur undefiniert an [mm] $x=1\,,$ [/mm]
also [mm] $D:=\IR \setminus \{1\}$ [/mm] ist hier als größtmöglicher Definitionsbereich
zu betrachten (ihr sollt wohl nicht [mm] $\IC$ [/mm] betrachten...).
> Es gibt hier 4 Punkte auf die Aufgabe, deswegen frag ich
> mich ob es reicht wenn ich das Binom in Linearfaktoren
> aufspalte und kürze damit dann nur noch hier steht y =
> x+1. Denn eig. wär die Funktion ja dann schon stetig oder
> täusche ich mich da?
Das stimmt schon. Denn dann gilt für jede Folge [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] mit $1 [mm] \not=x_n \to [/mm] 1$ auch
[mm] $$f(x_n)=(x_n^2-1)/(x_n-1)=x_n+1 \to 2\,,$$
[/mm]
also ist [mm] $f(1):=2\,$ [/mm] zu definieren, um [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] stetig fortzusetzen.
Daher vermutlich die Punktzahl für die Aufgabe. 1 Punkt für
"Definitionslücke/Definitionsbereich", 1 Punkt für binomische Formel und 1
Punkt für die darauffolgende Fortsetzung von [mm] $f\,,$ [/mm] um [mm] $f\,$ [/mm] "stetig zu machen".
P.S. Beachte, dass in $f: [mm] \IR \setminus [/mm] D [mm] \ni [/mm] x [mm] \mapsto (x^2-1)/(x-1)$ [/mm] die Funktion
an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] so nicht definiert war, Du kannst also nicht sagen, dass
die Ausgangsfunktion schon stetig an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] war. Noch klarer wird
das, wenn Du die Ausgangsfunktion [mm] $f\,$ [/mm] mit Definitionsbereich [mm] $D=\IR \setminus \{1\}$
[/mm]
immer als [mm] $f\,$ [/mm] schreibst, und die "stetig fortgesetzte Funktion" etwa [mm] $\tilde{\text{f}}$
[/mm]
nennt, d.h. [mm] $\tilde{\text{f}}$ [/mm] ist auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert und es gilt, dass [mm] $\tilde{\text{f}}$ [/mm] stetig (insbesondere
an der Stelle [mm] $1\,$) [/mm] ist und dass [mm] $\tilde{\text{f}}_{|\IR \setminus \{1\}}=f$ [/mm] gilt.
Kurz: $f: [mm] \IR \setminus \{1\} \to \IR$ [/mm] ist durch [mm] $f(x):=(x^2-1)/(x-1)\;\;(=x+1)$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] definiert,
und [mm] $\tilde{\text{f}}: \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $\tilde{\text{f}}(x):=x+1$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Der Unterschied ist halt: [mm] $x+1\,$ [/mm] kann man für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] hinschreiben,
aber [mm] $(x^2-1)/(x-1)$ [/mm] eben nur für alle reellen $x [mm] \not=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Mo 21.01.2013 | | Autor: | KKUT91 |
ich hab mich vllt undeutlich ausgedrückt. Dass die Funktion am Anfang noch nicht stetig war ist mir bekannt. Dankeschön für die sehr ausführliche Erklärung :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich hab mich vllt undeutlich ausgedrückt. Dass die
> Funktion am Anfang noch nicht stetig war ist mir bekannt.
Du hast Dich nicht undeutlich ausgedrückt - nur ist das ein Standardfehler, der
gerne mal gemacht wird. Daher habe ich von vorneherein drauf hingewiesen!
> Dankeschön für die sehr ausführliche Erklärung :)
Gerne! 
Gruß,
Marcel
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