Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Knueffi |
| Aufgabe | Sei f:[0,2]->[0,1] eine stetige Funktion.
Beweisen Sie folgende Aussage oder finden Sie ein Gegenbeispiel dazu:
Es existiert ein b [mm] \in [/mm] [0,2] mit f(b)=b/2 |
Ich weiß gar nicht wie ich an diese Aufgabe herangehen soll! Beweise ich es mit Epsilon Delta Kriterium oder evtl auch einfach mit Grenzwertbetrachtung?
Bitte um Hilfestellung
Danke erstmal
Eure Knueffi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mo 21.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f:[0,2]->[0,1] eine stetige Funktion.
> Beweisen Sie folgende Aussage oder finden Sie ein
> Gegenbeispiel dazu:
> Es existiert ein b [mm]\in[/mm] [0,2] mit f(b)=b/2
> Ich weiß gar nicht wie ich an diese Aufgabe herangehen
> soll! Beweise ich es mit Epsilon Delta Kriterium oder evtl
> auch einfach mit Grenzwertbetrachtung?
>
> Bitte um Hilfestellung
>
> Danke erstmal
>
> Eure Knueffi
Setze zunächst g:=2f
Dann ist g:[0,2] [mm] \to [/mm] [0,2] stetig , und die Frage ist: gibt es ein b [mm] \in [/mm] [0,2] mit g(b)=b.
Dazu betrachte h(x):=g(x)-x. Zeige: h hat eine Nullstelle in [0,2]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Knueffi |
Ok das heißt ich Hilfe eine Hilfsfunktion, woher weißt du, dass diese g(x)=2f ist?
Ist es dann zweimal meine Funktion, also g(x)=b/2*b/2
Oder was setze ich dann für h(x)?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ok das heißt ich Hilfe eine Hilfsfunktion, woher weißt du, dass diese g(x)=2f ist?
Das ist Übung und macht auch nur die Aufgabe leichter.
Also üben üben üben!
> Ist es dann zweimal meine Funktion,
Ja.
> also g(x)=b/2*b/2
Nein.
Überleg nochmal, wieso sich deine beiden Aussagen widersprechen.
> Oder was setze ich dann für h(x)?
h(x) hat die fred doch vorgegeben.
Du kommst auch ohne deine erste Hilfsfunktion aus, indem du gleich $h(x) = f(x) - [mm] \bruch{x}{2}$ [/mm] setzt oder $h(x) = 2f(x) - x$, was aber das gleiche wäre, was fred dir gezeigt hat.
Mach dir klar, dass das zeigen einer Nullstelle von h gleichbedeutend ist mit dem, was du zeigen sollst.
MFG;
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Knueffi |
Ist es richtig wenn ich sage..
Um die Aussage zu beweisen, betrachte man die stetige Funktion h(x)=f(x)-(x/2), auf dem Intervall [0,2]/
h(x)=2×f(x)-x=b-x
Wenn h(x)=b-x eine Nullstelle im Intervall [0,2] hat, ist die Funktion stetig fuer b aus [0,2] mit f(x)=b/2.
Angenommen h(0)=0, dann ist die AUssage bwiesen, denn fuer b=0 ist f(0)=0 bzw. f(b)=b/2
Sei also weiter h(0) ungleich 0, dann folgt aus h(0) groesser 0 und h(2) kleiner 0 nach dem Nullstellen satz, dass ein ksi element offenes intervall 0,2 existiert, so dass h(ksi)=2f(ksi)-ksi=0 ist
mit ksi=b gilt dann: f(b) =b/2
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Ist es richtig wenn ich sage..
> Um die Aussage zu beweisen, betrachte man die stetige
> Funktion h(x)=f(x)-(x/2), auf dem Intervall [0,2]/
Das ist schonmal richtig!
> h(x)=2×f(x)-x=b-x
Und das nicht!
Nach Voraussetzung ist $f(0) [mm] \ge [/mm] 0$ und [mm] $f(2)\le 1\,.$
[/mm]
Hieraus folgt $h(0) [mm] \ge [/mm] 0$ und $h(2) [mm] \le 0\,.$
[/mm]
Nun ist mit $f$ auch $h$ stetig, und nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein [mm] $b\in[0;2]$ [/mm] mit $h(b) = [mm] 0\,,$ [/mm] also [mm] $f(b)=b/2\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Knueffi |
Ich glaube ich habe es jetzt soweit verstanden.
Vielen Dank!
|
|
|
|
