Stetigkeit, Ableitung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Di 27.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Bestimme Stetigkeit und Ableitung der Funktion
[mm] f(x)=\bruch{|x|}{x}
[/mm]
im Nullpunkt |
könnte jemand kontrollieren, ob das so richtig ist, vor allem bei der einseitigen Ableitung stimme ich nicht mit der Lösung überein...
Bilden der Rechts- und Linksseitigen Grenzwerte im Nullpunkt:
links:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(0-h)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{|0-h|}{0-h} [/mm] = -1 (Regel von L'Hospital auf [mm] \bruch{h}{-h})
[/mm]
rechts:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(0+h)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{|0+h|}{0+h} [/mm] = 1 (Regel von L'Hospital auf [mm] \bruch{h}{+h})
[/mm]
Die Funktion ist nicht stetig hebbar im Nullpunkt.
Einseitige Ableitungen im Nullpunkt:
links:
[mm] f'(x)_{-}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0-h)-f(0)}{0-h-0}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{|-h|}{-h}-(-1)}{0-h-0}-> \bruch{-1-(-1)}{0}-> [/mm] 0
die Lösung sagt hier allerdings: die Funktion ist in 0 nicht linksseitig differenzierbar.
(rechte Ableitung geschieht analog)...
Wo ist mein Fehler? Ich neige dazu, die Richtung der Ableitung zu verwechseln (rechts und links) 
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Du mußt doch hier nicht die Regel von L'Hospital bemühen.
Es ist doch f(x)=1 für x>0 und f(x)=-1 für x<0
f kann also nicht stetig in 0 fortgesetzt werden.
Folgerung: egal wie Du f(0) definierst, f ist in 0 nicht differenzierbar
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 27.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Natürlich nicht diffbar, aber es können doch rechtsseitige und linksseitige Ableitung existieren (nur sind sie nicht gleich), oder?
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Hallo, schaue dir den Graphen an, für x>0 eine Parallele zur x-Achse oberhalb, für x<0 ein Parallele zur x-Achse unterhalb, jeweils im Abstand 1 zur x-Achse, eine Parallele zur x-Achse hat den Anstieg Null, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 27.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Hi Steffi!
danke für deine Antwort, ich war ja auch der Meinung, aber hier einmal die Lösung (inkl Lösungsweg):
[mm] \limes_{n\rightarrow 0-}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{n\rightarrow 0-}\bruch{-1-1}{x}=\limes_{n\rightarrow 0-}\bruch{-2}{x} \rightarrow -\infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow 0+}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{n\rightarrow 0+}\bruch{1-1}{x}=\limes_{n\rightarrow 0-}\bruch{0}{x} \rightarrow [/mm] 0
meiner Meinung nach ist der Fehler im zweiten Schritt der ersten Ableitung passiert, wo f(x) für x gegen 0- einfach als 1 statt -1 angeschrieben wurde. Sehe ich das richtig?
lg
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Di 27.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
f(0) ist nicht definiert, insofern machen diese Ausdrücke keinen Sinn.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Di 27.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
da fällt mir noch ein, dass die Ableitungen ja nicht gleich sein können, da sie dann ja die Ableitung am Punkt darstellen (die Funktion ist dort nicht stetig also auch nicht differenzierbar).
Sehe ich das richtig?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Di 27.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
nicht stetig [mm] \Rightarrow [/mm] nicht diffbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Di 27.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Die Lösung kommt von unserem Professor, also irgendwas wird er sich dabei gedacht haben....
da f(x) im Nullpunkt jedoch nicht stetig ergänzbar ist macht es für mich auch unmittelbar keinen Sinn!
lg & Gute Nacht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Es geht hier um die Frage nach links- und rechtsseitigen Ableitungen. Die können existieren auch wenn die "richtige" Ableitung nicht existiert.
Du hast weiter oben die Musterlösung hingeschrieben. Die ist richtig, falls man f(0)=1 definiert.
Wenn du dir ein Bild malst, dann siehst du das auch. Wenn du von Rechts kommst, dann "sieht" es für dich wie die konstante Funktion =1 aus, also Ableitung =0. Wenn du von Links kommst, dann hast du immer den Wert -1, aber f(0) ist ja auf 1 gesetzt. Wenn du jetzt eine Verbindungsgerade zeichnest zwischen (h,f(h)) und (0,f(0)), dann wird die mit h gegen Null "gegen senkrecht laufen", also Ableitung unendlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:56 Mi 28.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
ich kann ja schwer willkürlich f(0)=1 setzen, da die Funktion ja nicht hebbar ist, oder?
wenn ich von "links komme" ist die Funktion konstant mit -1. f(0) sei 0, dann ist die Verbindung in der Tat eine senkrechte Gerade mit Steigung [mm] \infty [/mm] ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo chrisi!
> ich kann ja schwer willkürlich f(0)=1 setzen, da die
> Funktion ja nicht hebbar ist, oder?
Richtig! Wie bereits mehrfach angedeutet, ist die Funktion für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nicht definiert und auch nicht hebbbar stetig.
> wenn ich von "links komme" ist die Funktion konstant mit
> -1. f(0) sei 0, dann ist die Verbindung in der Tat eine
> senkrechte Gerade mit Steigung [mm]\infty[/mm] ...
Anschaulich gesehen: ja ... und damit sollte ja nun die Frage der Differenzierbarkeit in [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ geklärt sein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Mi 28.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
guten Morgen Loddar :)
leider nicht, weil die Funktion f(0) ja nicht existiert! Wie soll ich dann den Differenzenquotienten bilden, wenn es f(0) nicht gibt?
Meiner Meinung nach wäre ja die Funktion weder rechts- noch linksseitig diffbar, nur die Lösung sagt etwas anderes....
Oder behilft man sich wirklich dadurch, dass man in einer Sprungstelle dieser Art einen Rand als Funktionswert vorgibt?
wie wäre es dann hier:
[mm] f(x)=\bruch{x-2}{2-x}
[/mm]
Die Funktion ist auf [mm] \IR [/mm] ohne {2} stetig, also untersuche ich diese Stelle:
von links:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-}f(x)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(2-h)-1}{2-(2-h)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1-h}{h}=\infty
[/mm]
von rechts:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+}f(x)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(2+h)-1}{2-(2+h)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1+h}{-h}=-\infty
[/mm]
Ergebnis: Sprungstelle, nicht stetig ergänzbar. Die Funktion ist in x=2 nicht stetig, also auch nicht differenzierbar. Es können jedoch einseitige Ableitungen existieren.
Wie müsste ich mein f(2) jetzt ansetzen? Oder kann ich gleich sagen, dass keine einseitigen Ableitungen existieren werden, da kein f(2)?
lg
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> weil die Funktion f(0) ja nicht existiert!
> Wie soll ich dann den Differenzenquotienten bilden, wenn es
> f(0) nicht gibt?
Hallo,
gar nicht.
An einer Stelle, an der eine Funktion nicht definiert ist, kann sie auch nicht von rechts oder links diffbar sein.
Merle hatte es ja schon gesagt:
Dein Prof. scheint die Funktion
[mm] g(x)=\begin{cases} \bruch{|x|}{x}, & \mbox{für } x\not=0 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
zu betrachten.
Diese Funktion ist im Nullpunkt definiert, aber nicht stetig, wovon man sich durch Betrachtung des rechst- und linksseitigen Grenzwertes überzeugen kann.
Da sie nicht stetig ist, ist sie auch nicht diffbar, aber bei dieser Funktion kann man den lim des Differenzenquotienten v. rechts und links wie geschehen berechnen.
> Meiner Meinung nach wäre ja die Funktion weder rechts- noch
> linksseitig diffbar, nur die Lösung sagt etwas anderes....
>
> Oder behilft man sich wirklich dadurch, dass man in einer
> Sprungstelle dieser Art einen Rand als Funktionswert
> vorgibt?
Nein. Man kann sich nicht einfach irgendwas vorgeben.
> wie wäre es dann hier:
>
>
> [mm]f(x)=\bruch{x-2}{2-x}[/mm]
>
> Die Funktion ist auf [mm]\IR[/mm] ohne {2} stetig, also untersuche
> ich diese Stelle:
Ich weiß nicht so recht, was das, was Du in der Folge tust, darstellen soll.
Auf jeden Fall meinst Du den Grenzwert gegen 2 und nicht gegen 0.
Es ist doch
[mm] f:\IR [/mm] \ [mm] \{2\} \to \IR
[/mm]
[mm] f(x):=\bruch{x-2}{2-x}=-1,
[/mm]
also ist der GW von beiden Seiten =-1 und die Funktion ist durch den Funktionswert -1 an der Stelle 2 stetig ergänzbar.
Man hat dann die Funktion
[mm] g:\IR \to \IR
[/mm]
g(x):=-1,
und die kann man nach Herzenslust überall differenzieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Mi 28.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Verzeihung, hab mich verschrieben!
die Funktion sollte
[mm] f(x)=\bruch{x-1}{2-x}
[/mm]
lauten.
statt den Grenzwert gegen 2+ oder 2- gehen zu lassen kann ich ihn ja auch so formulieren
[mm] \limes_{x\rightarrow 2-}=\limes_{h\rightarrow 0}(2-h)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 2+}=\limes_{h\rightarrow 0}(2+h)
[/mm]
oder? das ist nur eine andere Darstellung.
lg
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> Verzeihung, hab mich verschrieben!
>
> die Funktion sollte
>
>
> [mm]f(x)=\bruch{x-1}{2-x}[/mm]
>
> lauten.
Achso, daserklärt vieles.
>
> statt den Grenzwert gegen 2+ oder 2- gehen zu lassen kann
> ich ihn ja auch so formulieren
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2-}f(x)=\limes_{h\rightarrow 0}(2-h)[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2+}f(x)=\limes_{h\rightarrow 0}(2+h)[/mm]
>
> oder? das ist nur eine andere Darstellung.
Ja.
Und der eine ist [mm] \infty [/mm] und der andere [mm] -\infty, [/mm] so daß Du Deine Funktion nicht stetig ergänzen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Mi 28.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
mir ist jetzt eigentlich alles klar, bis auf die Musterlösung. Aber es wird so sein wie angemerkt wurde, dass einfach f(0)=1 gesetzt und die daraus entstehende Funktion betrachtet wurde!
kann ich dies für meine selbst ausgedachte Funktion auch so formulieren?
ich definiere auf einer Seite der Sprungstelle meine Funktion (wobei das hier nicht viel Sinn ergibt) und bestimme die beidseitigen Ableitungen? Mir erscheint das schon sehr willkürlich ;)
Lg und danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> mir ist jetzt eigentlich alles klar, bis auf die
> Musterlösung. Aber es wird so sein wie angemerkt wurde,
> dass einfach f(0)=1 gesetzt und die daraus entstehende
> Funktion betrachtet wurde!
>
> kann ich dies für meine selbst ausgedachte Funktion auch so
> formulieren?
>
> ich definiere auf einer Seite der Sprungstelle meine
> Funktion (wobei das hier nicht viel Sinn ergibt) und
> bestimme die beidseitigen Ableitungen? Mir erscheint das
> schon sehr willkürlich ;)
>
>
> Lg und danke für eure Hilfe!
>
>
Nein, die Funktion einfach irgendwie definieren ist falsch, denn je nachdem wie du sie definierst kommen andere Grenzwerte raus.
Wenn sie in einem Punkt nicht definiert ist, dann ist sie dort auch nicht diffbar, auch nicht von links oder von rechts.
Ich bezweifle, dass in der Musterlösung f(0)=1 willkürlich gesetzt wurde - es wurde wohl irgendwann mal erwähnt und du hast es nicht mitgekriegt oder es wurde einfach vergessen hinzuschreiben.
Und wie gesagt... die Musterlösung ist absolut korrekt, falls man von f(0)=1 ausgeht.
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