Stetigkeit Beschränktheit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Di 21.06.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen! :)
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Folgende Aussagen sollen bewiesen oder widerlegt werden:
a) Ist f: D [mm] \to \IR [/mm] stetig und ist D [mm] \subset \IR [/mm] beschränkt, so ist f beschränkt
b) Ist f: D [mm] \to \IR [/mm] stetig und ist D [mm] \subset \IR [/mm] abgeschlossen, so ist f beschränkt
c) Die unendliche Reihe von Funktionen [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x}{(n²+x²)} [/mm] konvergiert auf [-1,1] gleichmäßig gegen eine stetige Funktion.
a) Ich habe ja eine Funktion f mit dem Definitionsbereich D, der in R abbildet. Nun ist ja D Teilmenge R und beschränkt. Das heißt doch, dass ich nur ein begrenztes Intervall habe. Also müsste doch logischerweise die ganze Funktion beschränkt sein, da ich ja nur aus einem beschränkten Definitionsbereich WErte herausnehme.
b) Nun habe ich ja als Unterschied zu a, dass D abgeschlossen ist. Das heißt ja, dass jeder Häufungspunkt von D in D liegt. Das sagt aber noch nichts über die Beschränktheit der Funktion aus! Denn z.B. kann ja auch D die Menge aller rationalen Zahlen sein.
c) da kann man ja sagen, dass 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1. Der Nenner geht gegen unendlich, also die Terme gegen 0. Und sie ist doch dann auch in allen Punkten definiert. Also muss es ja ne stetige Funktion sein oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Di 21.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Becks!
> a) Ist f: D [mm]\to \IR[/mm] stetig und ist D [mm]\subset \IR[/mm]
> beschränkt, so ist f beschränkt
> b) Ist f: D [mm]\to \IR[/mm] stetig und ist D [mm]\subset \IR[/mm]
> abgeschlossen, so ist f beschränkt
> c) Die unendliche Reihe von Funktionen
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x}{(n²+x²)}[/mm] konvergiert auf
> [-1,1] gleichmäßig gegen eine stetige Funktion.
>
> a) Ich habe ja eine Funktion f mit dem Definitionsbereich
> D, der in R abbildet. Nun ist ja D Teilmenge R und
> beschränkt. Das heißt doch, dass ich nur ein begrenztes
> Intervall habe. Also müsste doch logischerweise die ganze
> Funktion beschränkt sein, da ich ja nur aus einem
> beschränkten Definitionsbereich WErte herausnehme.
Nein, das Argument zieht leider nicht.  Betrachte mal die stetige Funktion $f(x) = [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] auf $(0,1)$.
> b) Nun habe ich ja als Unterschied zu a, dass D
> abgeschlossen ist. Das heißt ja, dass jeder Häufungspunkt
> von D in D liegt. Das sagt aber noch nichts über die
> Beschränktheit der Funktion aus! Denn z.B. kann ja auch D
> die Menge aller rationalen Zahlen sein.
Zum Beispiel kann auch [mm] $D=\IR$ [/mm] sein, und $f(x)=x$ ist dort sicherlich nicht beschränkt.
> c) da kann man ja sagen, dass 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1. Der Nenner
> geht gegen unendlich, also die Terme gegen 0. Und sie ist
> doch dann auch in allen Punkten definiert. Also muss es ja
> ne stetige Funktion sein oder?
Finde eine geeignete konvergente Majorante, die nicht von $x$ abhängt. Wenn du auf keine kommst, kannst du dich ja noch einmal melden. 
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Di 21.06.2005 | | Autor: | Becks |
a) Hmm, aber [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist doch bei 0 nicht stetig. die Funktion ist doch da nicht definiert oder?
b) ja genau! sowas hatte ich ja auch gedacht. :) Das ist ja praktisch ein Gegenbeispiel dazu, das kann ich ja angeben und wäre bei der b) fertig.
c) wäre das vielleicht [mm] \bruch{1}{n²}?
[/mm]
denn [mm] |\bruch{x}{(n²+x²)}| [/mm] ist ja [mm] \le \bruch{1}{n²}. [/mm] Aber dann bekomme ich ja als Grenzwert [mm] +\infty [/mm] wie sage ich das denn für ne stetige Funktion? Oder ist die Majorante meine stetige Funktion die gesucht ist?
Danke für deine Antwort
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
> a) Hmm, aber [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist doch bei 0 nicht stetig. die
> Funktion ist doch da nicht definiert oder?
deswegen auch der Definitionsbereich (0,1) und nicht etwa [0,1], somit muss die Funktion an der Stelle 0 nicht steig sein. :)
> b) ja genau! sowas hatte ich ja auch gedacht. :) Das ist ja
> praktisch ein Gegenbeispiel dazu, das kann ich ja angeben
> und wäre bei der b) fertig.
wobei D nicht [mm] \IR [/mm] sein kann, da D [mm] \subset \IR [/mm] und nicht D [mm] \subseteq \IR [/mm]. Aber die Begruendung D als Menge der rationalen Zahlen [mm] \IQ [/mm] zu sehen und sich die Funktion [mm] f(x) = x [/mm] anzusehen sollte reichen.
> c) wäre das vielleicht [mm]\bruch{1}{n²}?[/mm]
> denn [mm]|\bruch{x}{(n²+x²)}|[/mm] ist ja [mm]\le \bruch{1}{n²}.[/mm] Aber
> dann bekomme ich ja als Grenzwert [mm]+\infty[/mm] wie sage ich das
> denn für ne stetige Funktion? Oder ist die Majorante meine
> stetige Funktion die gesucht ist?
der Grenzwert der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}[/mm] oder so aehnlich, aber nicht [mm] +\infty [/mm]
lG
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Becks |
ok, das leuchtet mir ein. :)
Habe mich da nur mit der Intervallschreibweise vertan.
Also soweit ich das verstanden habe, stimmt die Aussage
a) und die Aussage b) nicht, aus den genannten Gründen.
aber bei der c) bin ich mir nicht so sicher. Einen Grenzwert haben wir ja schon, aber wie finde ich die stetige Funktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Do 23.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> aber bei der c) bin ich mir nicht so sicher. Einen
> Grenzwert haben wir ja schon, aber wie finde ich die
> stetige Funktion?
Dieser ist die stetige Funktion. Denn: da du eine konvergente Majorante unabhängig von x gefundne hast, konvergiert die Reihe stetiger Funktionen glm. gegen eine stetige Funktion - tja, und das ist dann eben die Reihe an ejder Stelle x. Ob das vllcht zufällig irgendeine andere Funktion ist - wer weiß das schon? Die Exponentialfunktion definiert man auch meistens eben durch ihre (Potenz)reihe.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Fr 24.06.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Becks!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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