Stetigkeit Beweisen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Fr 09.01.2009 | | Autor: | MartaG |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass eine Funktion [mm] f:\IR^n \to \IR^n [/mm] genau dann stetig ist, wenn das Urbild f^(-1)(X) jeder offenen Menge X [mm] \subset \IR^n [/mm] offen ist. |
Also mein erster Gedanke war: " Wie bitte?" mein zweiter wohl auch nicht anders... Ich brauch es wohl auf Deutsch...
Danke für die Hilfe
MfG Marta
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Fr 09.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Wie habt ihr Stetigkeit definiert? Was ist eine offene Menge?
Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Fr 09.01.2009 | | Autor: | MartaG |
f ist stetig im Punkt x [mm] \in [/mm] X wenn x ein isolierter punkt ist.
f ist stetig auf X wenn f in allen Punkten x [mm] \in [/mm] X stetig ist.
f ist stetig in [mm] x_{0} \gdw \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta(\varepsilon,x_{0}) \forall [/mm] x [mm] \in X\cap U\delta(x_{0}) [/mm] f(x) [mm] \in U\varepsilon(f(x_{0})
[/mm]
Offene Menge: Menge ohne Randpunkte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Fr 09.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Du musst zeigen
1) Ist [mm] $f:\IR^n\to\IR^n$ [/mm] stetig, dann folgt aus [mm] $U\in\IR^n$ [/mm] offen, dass [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] offen ist.
2) Ist [mm] $f:\IR^n\to\IR^n$ [/mm] eine Abbildung mit [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] offen für jede offene Menge [mm] $U\subset\IR^n$, [/mm] dann ist f stetig.
Am besten du benutzt folgende Definition von Offenheit: Eine Menge [mm] $U\subset\IR^n$ [/mm] heißt offen, wenn es zu jedem [mm] $x\in [/mm] U$ ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon(x)>0$ [/mm] gibt, sodass [mm] $B_\varepsilon(x):=\{y\in\IR^n\mid|x-y|<\varepsilon\}\subset [/mm] U$ ist. Gegebenenfalls musst du beweisen, dass diese Definition zu deiner äquivalent ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 09.01.2009 | | Autor: | MartaG |
Und wie mach ich das am besten? Kann mir grad keinen Ansatz vorstellen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Fr 09.01.2009 | | Autor: | pelzig |
> Und wie mach ich das am besten? Kann mir grad keinen Ansatz vorstellen...
z.B. 1) Sei [mm] $f:\IR^n\to\IR^n$, $U\subset\IR^n$ [/mm] offen und [mm] $x\in f^{-1}(U)$ [/mm] beliebig. Dann ist [mm] $f(x)\in [/mm] U$, d.h. es gibt ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit [mm] $B_\varepsilon(f(x))\subset [/mm] U$. Wegen der Stetigkeit gibt es ein [mm] $\delta=\delta(\varepsilon)$ [/mm] mit [mm] $|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$, [/mm] d.h. [mm] $B_\delta(x)\subset f^{-1}(B_\varepsilon(f(x)))$. [/mm] Da [mm] $x\in [/mm] U$ beliebig gewählt war, ist also [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] offen.
Jetzt mach du die andere Richtung.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Blaze |
Ich habe da auch eine Idee, weiß allerdings nicht ob sie richtig ist.
Ich möchte zeigen, dass aus Stetigkeit folgt, dass das Urbild einer offenen Menge offen ist, d.h. f: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig [mm] \Rightarrow f^{-1}(U) [/mm] ist offen für alle offenen U [mm] \in \IR.
[/mm]
Also:
Ich gehe von der Kontraposition aus:
U ist offen, aber [mm] f^{-1}(U) [/mm] ist abgeschlossen. Da [mm] f^{-1}(U) [/mm] abgeschlossen ist, gilt für jede Folge [mm] (x_k) \subset f^{-1}(U) [/mm] das [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}{x_k}=x [/mm] auch x [mm] \in f^{-1}(U) [/mm] ist. Ist nun die Implikation richtig, dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}{f(x_k)}\not=f(x) \in [/mm] U für [mm] f(x_k) \in [/mm] U, da U offen ist? Wenn [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}{f(x_k)}=f(x) [/mm] für alle Folgen gelten würde, müsste U ja doch abgeschlossen sein oder?
Da nun dann aber [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}{f(x_k)}\not=f(x) [/mm] gilt, ist f nicht stetig, das muss ja auch nicht für alle Folgen [mm] (x_k) [/mm] gelten, es reicht ja, wenn es für eine nicht gilt.
Was sagt ihr dazu? Geht das so?
Mfg
Blaze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Ich möchte zeigen, dass aus Stetigkeit folgt, dass das
> Urbild einer offenen Menge offen ist, d.h. f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> stetig [mm]\Rightarrow f^{-1}(U)[/mm] ist offen für alle offenen U
> [mm]\in \IR.[/mm]
> Also:
> Ich gehe von der Kontraposition aus:
> U ist offen, aber [mm]f^{-1}(U)[/mm] ist abgeschlossen. Da
Die Negation von "offen" ist "nicht offen", nicht "abgeschlossen".
> ist. Ist nun die Implikation richtig, dass
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}{f(x_k)}\not=f(x) \in[/mm] U für
> [mm]f(x_k) \in[/mm] U, da U offen ist? Wenn
Siehe unten.
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}{f(x_k)}=f(x)[/mm] für alle Folgen
> gelten würde, müsste U ja doch abgeschlossen sein oder?
Du wirfst hier Stetigkeit und Abgeschlossenheit stark durcheinander (weil beides mit Folgen zu tun hat).
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:26 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Blaze |
Nicht offen heißt also, dass sie aber trotzdem halboffen sein kann, d.h.
[mm] \exists (x_n) \subset [/mm] U: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{x_n}=x [/mm] mit x [mm] \not\in [/mm] U, richtig?
Mal abgesehen davon wüsste ich gern, ob man mit allen Folgen [mm] (x_n) \subset f^{-1}(U) [/mm] mit [mm] x_n \to [/mm] x und [mm] x\in f^{-1}(U) [/mm] wirklich alle Folgen aus U "trifft", also ob man wirklich über die Bilder aller Folgen aus [mm] f^{-1}(U), [/mm] also [mm] f(x_n) [/mm] Aussagen über alle Folgen aus U machen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 12.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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