Stetigkeit, Dichtheit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Do 12.07.2012 | | Autor: | basti09 |
| Aufgabe | Die Pdf zur Aufgabe (keine Sorge, ist nicht groß). Tut mir leid, aber ich fühle mich noch nicht sicher darin, die Aufgabe selbst abzutippen:
http://www.mathematik.tu-dortmund.de/~siburg/lehre/ana1/aufgaben.html
Edit: Der Direktlink funktionierte blöderweise nicht.
Es geht um die Klausur vom 11.02 und davon die Aufgabe 8 (ganz unten auf der Seite) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vorweg: Das ist die erste Aufgabe dieser "Art", die ich bearbeite. Meine Lösungsidee ist die folgende: Und zwar würde ich über die Dichtheit von Q in R argumentieren, dass die Funktion überall unstetig ist. Die Stellen x = 1 und x = 0 müsste man eventuell gesondert betrachten, da [mm] x^2 [/mm] = x = 0 (analog für x = 1). Bin mir da aber nicht sicher.
Was das prinzipielle Problem ist:
1) Bin mir nicht sicher, ob die Stellen 1 und 0 gesondert betrachtet werden müssen.
2) Die Lösungsidee dürfte nicht völlig verkehrt sein (Argumentation über Dichtheit). Nur: Wie formuliert man dies vernünftig aus?
Was ich mir noch als Ergänzung zur eigentlichen Aufgabenstellung überlegt habe und was auch gut zum Themenbereich der anstehenden Klausur passen würde: Man könnte ja noch zeigen, oder widerlegen, dass f eine Regelfunktion ist. Allerdings müsste ich dazu erstmal wissen, ob meine Ideen zur Stetigkeit prinzipiell richtig sind. Denn dann könnte man über die Dichtheit einen Widerspruch formulieren.
Hoffe auf Tipps und Hinweise, die mich in die richtigen Bahnen lenken mögen. Danke und Gruß^^
Basti
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Hiho,
> Die Pdf zur Aufgabe (keine Sorge, ist nicht groß). Tut mir
> leid, aber ich fühle mich noch nicht sicher darin, die Aufgabe selbst abzutippen:
Übungs macht den Meister!
Deine Idee an sich ist ganz gut. Deine Überlegung, dass die Funktion nur in 1 und 0 stetig ist, ist auch korrekt. Du musst es nur noch in einem mathematischen Kontext ausdrücken.
Welche Definitionen für Stetigkeit kennst du denn?
Beide eignen sich hier eigentlich für einen Beweis, wobei ich eine Definition der anderen vorziehen würde, einfach weil es schneller geht und man es sofort hinschreiben kann. (Tipp: Teilfolgen & Dichtheitsargument)
Mache dann eine Fallunterscheidung [mm] $x_0 \not\in \{0,1\}$ [/mm] bzw [mm] $x_0 \in \{0,1\}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 12.07.2012 | | Autor: | basti09 |
Okay, erstmal danke vielmals für deine Antwort. Hat mich auf jeden Fall schon einmal vorangebracht. Hier mein Lösungsversuch:
1. Fall: x = 0 xor x = 1:
Man wähle x = 0 xor x = 1. Aufgrund der Dichtheit von Q in R gibt es eine Folge aus nur rationalen Zahlen, die gegen x geht und am Grenzwert den Funktionswert [mm] x^2 [/mm] hat. Analog gibt es eine Folge aus irrationalen Zahlen, die gegen x geht und am Grenzwert den Wert x hat. Da x = [mm] x^2, [/mm] folgt nach dem Folgenkriterium die Stetigkeit. (meine Vorstellung zur Konstruktion dieser Folgen: man legt einen Epsilon Ball um x, dann liegt aufgrund der Dichtheit eine rationale Zahl in diesem Ball. Dann legt man um die gefundene rationale Zahl einen Ball und wählt Epsilon so, dass x selbst nicht Teil des Balles ist. Dann gibt es nach der Dichtheit wiederum eine rationale Zahl, die im Epsilon Ball liegt. Und so weiter...Auf diese Weise würde man sich eine Folge konstruieren, die gegen x geht. Oder ist diese Vorstellung nicht zutreffend?)
2. Fall: x ungleich 0 und x ungleich 1:
Analoge Vorgehensweise. Nur ist der Unterschied, dass sich die Funktionswerte am Grenzwert unterscheiden und daher nach dem Folgenkriterium keine Stetigkeit vorliegt.
Hoffe, ich habe deinen Hinweis einigermaßen umgesetzt. Falls nein, würde ich mich über konstruktive Kritik freuen.
Zur zweiten Frage, die Regelfunktion betreffend: Def., die ich kennengelernt habe: Es liegt eine Regelfunktion f vor, wenn es eine Folge von Treppenfunktionen gibt, die glm. gegen f konvergiert. Könnte ich darüber argumentieren, dass ich in jedem Intervall der Zerlegung sowohl rationale als auch irrationale Zahlen finden kann, sodass die Treppenfunktionen auf diesen Intervallen nicht konstant sind?
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Hallo basti09,
bitte Mitteilungen als Mitteilungen stellen und (Rück-)Fragen als Fragen!
Gruß
schachuzipus
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Hiho,
deine Idee ist nicht schlecht, hat leider nur einen (gravierenden) Fehlern, aber das positive zuerst:
Dein Fall [mm] $x_0 \not\in \{0,1\}$ [/mm] ist richtig. Du hast eine Folge von rationalen Zahlen [mm] $x_k \to x_0$ [/mm] und eine Folge irrationaler Zahlen [mm] $y_k \to x_0$, [/mm] aber [mm] $\lim_{k\to\infty} f(x_k) \not= \lim_{k\to\infty} f(y_k)$ [/mm] und damit kann keine Stetigkeit vorliegen. Soweit so gut.
Nun zu deinem Beweis für den Fall [mm] $x_0 [/mm] = 0 [mm] \vee x_0 [/mm] = 1$.
Du hast dir eine Folge rationaler Zahlen genommen und eine Folge irrationaler Zahlen, die beide im Funktionengrenzwert übereinstimmen.
Aber nun schau dir mal nochmal die Definition der Stetigkeit über das Folgenkriterium an, was ist da gefordert?
> Könnte ich darüber argumentieren, dass ich in jedem Intervall der Zerlegung sowohl rationale als auch irrationale Zahlen finden kann, sodass die Treppenfunktionen auf diesen Intervallen nicht konstant sind?
Auch hier: Die Idee ist nicht schlecht. Aber wer sagt dir, dass stückweise stetige Treppenfunktionen nicht auch solche Unstetigkeitsstellen im Limes haben können (generell können sie das nämlich, bei glm. Konvergenz aber eben nicht).
MFG,
Gono.
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