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Hallo alle miteinander. Ich hoffe ihr könnt mir bei einem kleinen Verständnisproblem weiterhelfen. Die AUfgabe lautet folgendermaßen:
Überprüfen Sie die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x\le1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x>1 \mbox{} \end{cases} [/mm] zunächst auf Stetigkeit und überprüfen Sie anschließend, in welchen Punkten die Funktion diff'bar ist.
Meine Rechnung zur Stetigkeit sieht laut definition (Eine Funtion ist stetig, wenn links und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen) folgendermaßen aus:
Für die Funktion die von links kommt: [mm] \limes_{x\rightarrow\1}=\limes_{x\rightarrow\1}2x-1=1
[/mm]
Für die Funktion die von rechts [mm] kommt:\limes_{x\rightarrow\1}=\limes_{x\rightarrow\1}x^2=1
[/mm]
Da diese beiden Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion stetig.
Meine Rechnung zur Diff'barkeit sieht laut definition (Eine Funktion ist diff'bar an einer Stelle [mm] x_0, [/mm] wenn der Grenzwert existiert) folgendermaßen aus:
Für meine Funktion die von links kommt: [mm] \limes_{x\rightarrow\1}=\limes_{x\rightarrow\1}\bruch{2x-1-1}{x-1}=2. [/mm] Ich habe den Grenzwert nach der Regel von L'hospital berechnet da gilt: [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Für meine Funktion die von rechts [mm] kommt:\limes_{x\rightarrow\1}=\limes_{x\rightarrow\1}\bruch{x^2-1}{x-1}=2.
[/mm]
Ich habe den Grenzwert nach der Regel von L'hospital berechnet da gilt: [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Da der links und rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten übereinstimmen, ist die Funktion diff'bar an der Stelle [mm] x_0=1.
[/mm]
Mein Problem ist jetzt folgendes:
Zur STetigkeit habe ich außerdem die h-Methode gefunden um Stetigkeit nachzuweisen. Allerdings finde ich die Methode, wie ich oben gerechnet habe einfacher. Außerdem habe ich das Gefühl, dass das schneller geht. Ist das schlimm oder nicht?
Zur Diff'barkeit sieht das ganze meiner Meinung nach noch schlimmer aus. Ich habe hier folgendes zu gefunden:
Zuerst berechnet man den Differenzenquotienten mit [mm] \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. [/mm] Anschließend berechnet man den Differentialquotient. Aber ist meine Methode auch okay?
Ich bin der Meinung das das doch alles äquivalent ist oder? Also:
h-Methode=Meine Methode
und die Methode bei der man zunächst den Differenzenquotienten und anschließend den Differentialquotient=Meine Methode.
Ich danke euch schonmal für eure Hilfe. Mit freundlichen Grüßen domenigge 135
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> Hallo alle miteinander. Ich hoffe ihr könnt mir bei einem
> kleinen Verständnisproblem weiterhelfen. Die AUfgabe lautet
> folgendermaßen:
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> Überprüfen Sie die Funktion [mm]f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x\le1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x>1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
> zunächst auf Stetigkeit und überprüfen Sie anschließend, in
> welchen Punkten die Funktion diff'bar ist.
>
> Meine Rechnung zur Stetigkeit sieht laut definition (Eine
> Funtion ist stetig, wenn links und rechtsseitiger Grenzwert
> übereinstimmen) folgendermaßen aus:
> Für die Funktion die von links kommt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1}=\limes_{x\rightarrow\1}2x-1=1[/mm]
> Für die Funktion die von rechts
> [mm]kommt:\limes_{x\rightarrow\1}=\limes_{x\rightarrow\1}x^2=1[/mm]
> Da diese beiden Grenzwerte übereinstimmen, ist die
> Funktion stetig.
>
> Meine Rechnung zur Diff'barkeit sieht laut definition (Eine
> Funktion ist diff'bar an einer Stelle [mm]x_0,[/mm] wenn der
> Grenzwert existiert) folgendermaßen aus:
> Für meine Funktion die von links kommt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1}=\limes_{x\rightarrow\1}\bruch{2x-1-1}{x-1}=2.[/mm]
> Ich habe den Grenzwert nach der Regel von L'hospital
> berechnet da gilt: [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
> Für meine Funktion die von rechts
> [mm]kommt:\limes_{x\rightarrow\1}=\limes_{x\rightarrow\1}\bruch{x^2-1}{x-1}=2.[/mm]
> Ich habe den Grenzwert nach der Regel von L'hospital
> berechnet da gilt: [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
> Da der links und rechtsseitige Grenzwert des
> Differenzenquotienten übereinstimmen, ist die Funktion
> diff'bar an der Stelle [mm]x_0=1.[/mm]
>
> Mein Problem ist jetzt folgendes:
> Zur STetigkeit habe ich außerdem die h-Methode gefunden um
> Stetigkeit nachzuweisen. Allerdings finde ich die Methode,
> wie ich oben gerechnet habe einfacher. Außerdem habe ich
> das Gefühl, dass das schneller geht. Ist das schlimm oder
> nicht?
> Zur Diff'barkeit sieht das ganze meiner Meinung nach noch
> schlimmer aus. Ich habe hier folgendes zu gefunden:
> Zuerst berechnet man den Differenzenquotienten mit
> [mm]\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.[/mm] Anschließend berechnet man den
> Differentialquotient. Aber ist meine Methode auch okay?
>
> Ich bin der Meinung das das doch alles äquivalent ist oder?
> Also:
> h-Methode=Meine Methode
> und die Methode bei der man zunächst den
> Differenzenquotienten und anschließend den
> Differentialquotient=Meine Methode.
>
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") Ich verstehe nicht, weshalb Du Dich überhaupt der Mühe unterziehst, hier auch nur einen einzigen Grenzwert zu berechnen. Denn die Funktion setzt sich ja aus zwei stetigen und differenzierbaren Teilfunktionen zusammen: [mm] $f_1(x)=2x-1$ [/mm] und [mm] $f_2(x)=x^2$, [/mm] wobei
[mm]f(x)=\begin{cases}f_1(x)& \text{für $x\leq 1$}\\ f_2(x) & \text{für $1< x$}\end{cases}[/mm]
Also ist wegen [mm] $f_1(1)=2\cdot 1-1=1=f_2(1)= 1^2$ [/mm] die Funktion (auch) an der einzigen problematischen Stelle $x=1$ stetig. Wegen [mm] $f_1'(x)=2$ [/mm] und $f'_2(x)=2x$ sowie [mm] $f'_1(1)=2=f'_2(1)=2\cdot [/mm] 1$ ist $f$ an der Stelle $x=1$ auch differenzierbar. Die zweite Ableitung von $f$ existiert dann aber nicht mehr, denn [mm] $f_1''(1)=0\neq f_2''(1)=2$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:17 So 02.03.2008 | | Autor: | domenigge135 |
Ja ist ja richtig. Ich habe mir nun nur 2 Fkt. ausgesucht, an denen ich mir für diesen Thread nun keine all zu Große Mühe machen muss. DIe Frage war ja auch eine ganz andere.
Und zwar, ob es nötig ist für manche Fkt. zur Überprüfung der Stetigkeit nötig ist, dass mit der h- Methode zu machen. Oder ob diese gleich der Methode ist, welche ich dafür angewendet habe. Außerdem wollte ich wissen, Zitat:,, Zur Diff'barkeit sieht das ganze meiner Meinung nach noch schlimmer aus. Ich habe hier folgendes zu gefunden:
Zuerst berechnet man den Differenzenquotienten mit [mm] \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. [/mm] Anschließend berechnet man den Differentialquotient. Aber ist meine Methode auch okay?''
Ich bin der Meinung, dass gleich mit dem ist, wie ich das berechnet habe. Irgendwie verwirren mich diese ganzen verschiedenen Methoden halt ein wenig. Also so wie ich das jetzt berechnet hatte, würde ich das immer machen. Ist das in Ordnung oder könnte mich das in manchen fällen in Schwierigkeiten bringen?
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> Hallo alle miteinander. Ich hoffe ihr könnt mir bei einem
> kleinen Verständnisproblem weiterhelfen. Die AUfgabe lautet
> folgendermaßen:
>
> Überprüfen Sie die Funktion [mm]f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x\le1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x>1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
> zunächst auf Stetigkeit und überprüfen Sie anschließend, in
> welchen Punkten die Funktion diff'bar ist.
>
> Meine Rechnung zur Stetigkeit sieht laut definition (Eine
> Funtion ist stetig, wenn links und rechtsseitiger Grenzwert
> übereinstimmen) folgendermaßen aus:
> Für die Funktion die von links kommt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}=\limes_{x\rightarrow 1}2x-1=1[/mm]
> Für die Funktion die von rechts
> [mm]kommt:\limes_{x\rightarrow 1}=\limes_{x\rightarrow 1}x^2=1[/mm]
So wie Du dies geschrieben hast, macht es nicht so recht Sinn. Du könntest allenfalls folgendes schreiben:
[mm]\lim_{x\rightarrow 1-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1-}(2x-1)=2\cdot 1-1=1[/mm]
und
[mm]\lim_{x\rightarrow 1+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1+}x^2=1^2=1[/mm]
> Da diese beiden Grenzwerte übereinstimmen, ist die
> Funktion stetig.
Dieser Schluss ist nur ein Teil dessen, was Du zeigen musst: Wenn linksseitiger und rechtsseitiger Limes von $f(x)$ $x$ gegen $1$ übereinstimmen bedeutet dies zunächst nur, dass der (beidseitige) Grenzwert [mm] $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ [/mm] existiert (und gleich 1 ist). Du musst noch zeigen, dass dieser Limes gleich $f(1)$ ist (ist hier zwar trivial: aber ich schreibe dies, weil Du dies ja als allgemeines Rezept verwenden möchtest).
> Meine Rechnung zur Diff'barkeit sieht laut definition (Eine
> Funktion ist diff'bar an einer Stelle [mm]x_0,[/mm] wenn der
> Grenzwert existiert) folgendermaßen aus:
> Für meine Funktion die von links kommt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}=\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{2x-1-1}{x-1}=2.[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $\limes_{x\rightarrow 1}=$ [/mm] ist schon mal unsinnig. Und anstelle von [mm] $\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{2x-1-1}{x-1}=2$ [/mm] hättest Du hier [mm] $\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{(2x-1)-(2\cdot 1-1)}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1}\frac{2(x-1)}{x-1}=2$ [/mm] schreiben sollen.
> Ich habe den Grenzwert nach der Regel von L'hospital
> berechnet
Das ist doch einigermassen unschön: mit der L'Hospital-Kanone auf einen solchen Spatzen zu schiessen. Denn mit dem L'Hospital musst Du ja die Ableitung von Zähler und Nenner auch auf irgend einem Wege bestimmen (vielleicht auch mit L'Hospital? - dann tauchst Du in eine nicht-endende Rekursion ab!)
Besser gleich die Ableitungen der stetigen und diff'baren Fortsetzung von [mm] $x\mapsto [/mm] 2x-1$ bzw. von [mm] $x\mapsto x^2$ [/mm] auf eine ganze Umgebung von $1$ durch Anwenden der üblichen Ableitungsregeln (Faktor-, Summen- und Poteznregel) berechnen und die Werte dieser Ableitungen an der Stelle $1$ vergleichen, wie ich es in meiner ersten Antwort vorgeschlagen hatte.
> da gilt: [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
> Für meine Funktion die von rechts
> [mm]kommt:\limes_{x\rightarrow\1}=\limes_{x\rightarrow\1}\bruch{x^2-1}{x-1}=2.[/mm]
> Ich habe den Grenzwert nach der Regel von L'hospital
> berechnet da gilt: [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
> Da der links und rechtsseitige Grenzwert des
> Differenzenquotienten übereinstimmen, ist die Funktion
> diff'bar an der Stelle [mm]x_0=1.[/mm]
>
> Mein Problem ist jetzt folgendes:
> Zur STetigkeit habe ich außerdem die h-Methode gefunden um
> Stetigkeit nachzuweisen. Allerdings finde ich die Methode,
> wie ich oben gerechnet habe einfacher.
Kein Mensch wird doch $2x-1$ oder [mm] $x^2$ [/mm] nach der Methode von L'Hospital ableiten wollen! - Aber dies machst Du hier. Die $h$-Methode ist für den Fall gedacht, dass man keine Ableitung der fraglichen Funktion mittels den üblichen Ableitungsregeln kennt / finden kann (kommt sehr selten vor: ausser bei der Einführung der Differenzialrechnung, wo dies aus didaktischen Gründen bzw. zum Beweis der Ableitungsregeln halt so gemacht wird).
> Außerdem habe ich
> das Gefühl, dass das schneller geht. Ist das schlimm oder
> nicht?
> Zur Diff'barkeit sieht das ganze meiner Meinung nach noch
> schlimmer aus. Ich habe hier folgendes zu gefunden:
> Zuerst berechnet man den Differenzenquotienten mit
> [mm]\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.[/mm] Anschließend berechnet man den
> Differentialquotient. Aber ist meine Methode auch okay?
>
> Ich bin der Meinung das das doch alles äquivalent ist oder?
Den (=Deinen?) Weg über die Berechnung der Ableitung einer so simplen Funktion wie [mm] $x\mapsto [/mm] 2x-1$ oder [mm] $x\mapsto x^2$ [/mm] mit Hilfe von L'Hospital kann ich nur als schlechten Scherz lesen...
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