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Hallo. Ich habe mal eine kurze Frage:
Geg. ist [mm] f:[0,\infty[ \to \IR, x\to \wurzel{x}
[/mm]
(i) Zeigen Sie mit Hilfe der Def. der Stetigkeit, dass f auf seinem Definitionsbereich stetig ist.
Mein Beweis dazu ist folgender: Ich habe ja im Prinzip das Intervall [a,b], für b>a. Die Definition für das geschlossene Intervall ist ja, dass solche Funktionen stetig sind, sofern sie auf dem offenen Intervall ]a,b[ stetig sind und an den Stellen a und b
MFG domenigge135 die entsprechenden einseitigen Grenzwerte existieren und gleich dem Funktionswert sind.
Mich würde hier jetzt nur a=0 interessieren. f(0)=0 und der rechte Grenzwert an der Stelle x=0 ist ebenfalls 0. Somit wäre die funktion doch stetig auf dem Intervall [mm] [0,\infty[. [/mm] Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass das so einfach ist.
MFG domenigge135
P.S. das die Wurzel für x [mm] \in \IR^- [/mm] nicht definiert ist, ist mir klar. Wir sollen das halt nur beweisen, wozu mir jetzt dieser Schritt von oben eingefallen wäre.
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Hallo domenigge,
hmm, naja, in der Aufgabenstellung steht ja explizit, dass du es mit der Definition der Stetigkeit zeigen sollst.
Da würde ich doch meinen, dass du auf die [mm] $\varepsilon/\delta$-Definition [/mm] zurückgreifen solltest:
Für [mm] $x_0>0$ [/mm] zeige: [mm] $\forall [/mm] \ [mm] \varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists [/mm] \ [mm] \delta>0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] \ [mm] 0<|x-x_0|<\delta [/mm] \ : \ [mm] |\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\varepsilon$
[/mm]
Für [mm] $x_0=0$ [/mm] zeige für die rechtsseitige Stetigkeit:
[mm] $\forall [/mm] \ [mm] \varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists [/mm] \ [mm] \delta>0 [/mm] \ [mm] \forall x<\delta [/mm] \ : \ [mm] |\sqrt{x}|<\varepsilon$
[/mm]
Die [mm] $\delta$ [/mm] sind jeweils nicht allzu schwer zu konstruieren...
Gruß
schachuzipus
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Okay von der [mm] \varepsilon [/mm] Definition habe ich schonmal was gehört.
Wir hatten das folgendermaßen definiert: Für [mm] n>n_\varepsilon [/mm] liegen alle Folgenglieder in dieser Umgebung, d.h. [mm] |a_n-g|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n_\varepsilon. [/mm] Schreibweise: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=g
[/mm]
Allerdings weiß ich nun auch nicht richtig weiter. Ich habe ja dann im Prinzip 2 Fälle. 1. Fall [mm] \varepsilon=0, [/mm] 2. Fall [mm] \varepsilon>0 [/mm] aber was nun???
MFG domenigge135
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Hallo domenigge,
ich glaube, da verwechselst du zwei Definitionen.
Hier ist doch nach Stetigkeit einer Funktion gefragt, deine Definition ist doch eher die vom Grenzwert einer Folge
> Okay von der [mm]\varepsilon[/mm] Definition habe ich schonmal was
> gehört.
>
> Wir hatten das folgendermaßen definiert: Für
> [mm]n>n_\varepsilon[/mm] liegen alle Folgenglieder in dieser
> Umgebung, d.h. [mm]|a_n-g|<\varepsilon[/mm] für alle
> [mm]n>n_\varepsilon.[/mm] Schreibweise:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=g[/mm]
>
> Allerdings weiß ich nun auch nicht richtig weiter. Ich habe
> ja dann im Prinzip 2 Fälle. 1. Fall [mm]\varepsilon=0,[/mm] 2. Fall
> [mm]\varepsilon>0[/mm] aber was nun???
Oh wei, nein, nein, das [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ist beliebig
Zu diesem beliebig vorgegeben [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] musst du ein [mm] $\delta>0$ [/mm] konstruieren derart, dass die im anderen post angegebene Bedingung erfüllt ist.
Dazu musst du (im 1.Fall [mm] x_0>0) [/mm] den Betrag [mm] $|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|$ [/mm] abschätzen:
Ich zeige dir das mal für diesen Fall, dann haste das mal gesehen ... 
NEBENRECHNUNG (fürs Schmierblatt):
Es ist [mm] $|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|=\left|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right|$
[/mm]
Nun ist [mm] $x\in[0,\infty)$, [/mm] also [mm] $x\ge [/mm] 0$. Damit kann man weiter abschätzen
[mm] $\left|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right|\cdot{}|x-x_0|\le \left|\frac{1}{\sqrt{x_0}}\right|\cdot{}|x-x_0|=\frac{1}{\sqrt{x_0}}\cdot{}|x-x_0|$
[/mm]
Das soll nun für [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] dann [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein
Also lösen wir das auf:
[mm] $\frac{1}{\sqrt{x_0}}\cdot{}|x-x_0|<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw |x-x_0|<\sqrt{x_0}\cdot{}\varepsilon$
[/mm]
Wähle also [mm] $\delta:=\sqrt{x_0}\cdot{}\varepsilon$
[/mm]
Dann gilt für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] die obige Abschätzung.
Wenn du's nachher aufschreibst, lasse die Nebenrechnung "verschwinden" und schreibe:
"Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und wähle [mm] $\delta=\sqrt{x_0}\cdot{}\varepsilon$, [/mm] dann gilt für alle [mm] $|x-x_0|<\delta$: [/mm] " ... dann die Abschätzungskette ...
Hoffe, es ist etwas klarer geworden, wie man sich durch eine solche Abschätzung hangelt und das [mm] $\delta$ [/mm] sozusagen "rückwärts" konstruiert
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> MFG domenigge135
LG
schachuzipus
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