Stetigkeit/Differenzierbarkeit < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 So 21.11.2004 | | Autor: | monja |
hi...habe ein problem in einer Aufgabe....ich habe sie versucht sie zu berechnen aber ich komm irgendwie nicht weiter..
es wäre nett wenn sich das mal jemand anschauen könnte und mir vielleicht helfen würde...
die Aufgabe lautet: Welche Funktion aus der Funktionenschar [mm] f_t [/mm] mit
[mm] f_t(x)= [/mm] t(wurzel aus x) für x>=1 & [mm] 1/4(3x^2+4t-3) [/mm] für x<1
sind an der Stelle x= 1 stetig? Welche dieser Funktion ist an der Stelle x=1 auch differenzierbar?
Also ich habe als erstes versucht die stetigkeit versuch zuberechnen. ich habe bei [mm] f_t(1)=t [/mm] raus.
Dann hab ich mich den Grenzwert von links und rechts angenähert
und bekam beim Ergebniss : l-lim x -> 1- F(x)=t & r-lim x-> 1+ F(x)=t
Also das heißt ja das die Funktion stetig ist....
Aber ist dies die lösung? Die verlangen soch in der Aufgabenstellung eine Funktion von mir....
Was muss ich den jetzt machen ?
Ja und bei der Differezierbarkeit muss man ja die 1. Ableitung berechnen....
Aber bei mir kommst voll das komische ergebniss heraus...nämlich
[mm] F1_t(x)= [/mm] IF (x>= 1,t (wurzel aus x), IF (x<1, [mm] 1/4(-3+4t+3x^2)))
[/mm]
Also ich weis jetzt nicht ob diies richtig ist...auf jeden fall habe ich dann noch
[mm] f_t(x)=(f(b)-f(1))/(b-a) [/mm]
den Grenzwert von links und rechts wieder angenähert und da kamen beide ergebnisse 1 raus....
Aber muss ich hier auch nicht eine Funktion irgendwie herausfinden...?
Also wenn die berechneten Werte richtig sein sollten kann mir dann jemand sagen
wie ich diese Funktionen berechnen kann???
ich danke schonmal im vorraus...DANKE.....;)
lg monja
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 So 21.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Monja,
> die Aufgabe lautet: Welche Funktion aus der Funktionenschar
> [mm]f_t[/mm] mit
>
> [mm][mm] f_t(x)=t*(\wurzel{x}) [/mm] für x>=1 & [mm]1/4(3x^2+4t-3)[/mm] für x<1
> sind an der Stelle x= 1 stetig? Welche dieser Funktion ist
> an der Stelle x=1 auch differenzierbar?
>
> Also ich habe als erstes versucht die stetigkeit versuch
> zuberechnen. ich habe bei [mm]f_t(1)=t[/mm] raus.
> Dann hab ich mich den Grenzwert von links und rechts
> angenähert.
Der Wert mit [mm]f_t(1)=t[/mm] ist bereits der rechtsseitige Grenzwert(s.u.).
>
> und bekam beim Ergebnis : l-lim x -> 1- F(x)=t & r-lim
> x-> 1+ F(x)=t
Richtig.
> Also das heißt ja das die Funktion stetig ist....
>
> Aber ist dies die lösung? Die verlangen soch in der
> Aufgabenstellung eine Funktion von mir....
Die Funktion ist ja bereits gegeben. Die eigentliche Frage lautet doch:
Für welche t ist die Funktion [mm] $f_t(x)$ [/mm] stetig bzw. differenzierbar.
D.h. Du musst ein t ermitteln, für welches diese Bedingungen erfüllt ist.
[mm] $\limes_{x\rightarrow1+} (t*\wurzel{x}) [/mm] = [mm] f_t(1) [/mm] = t$
Wegen geforderter Stetigkeit muss nun gelten:
[mm] $\limes_{x\rightarrow1-} [1/4*(3x^2 [/mm] + 4t - 3)] = [mm] [1/4*(3*1^2 [/mm] + 4t - 3)] = t [mm] \underbrace{=}_{f_t(1) = t} [/mm] t$
Bei dieser Grenzwertberechnung erhält man also$t = t$, sprich eine wahre Aussage.
D.h. die gegebene Funktion [mm] $f_t(x)$ [/mm] ist stetig für alle t !!
> Ja und bei der Differezierbarkeit muss man ja die 1.
> Ableitung berechnen....
Genau mach das mal:
$f'_t(x) = [mm] \bruch{t}{2\wurzel{x}}$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 1$ bzw.
$f'_t(x) = 1/4 * 6x = 1,5x$ für $x < 1$
Die Ableitungen darf ich hier bilden. Knackpunkt ist lediglich die Stelle x = 1, aber die untersuchen wir ja gerade ...
Nun machen wir da gleich Spiel wie eben.
Rechtsseitiger Grenzwert:
[mm] $\limes_{x\rightarrow1+} \bruch{t}{2\wurzel{x}} [/mm] = f'_t(1) = t/2$
Linksseitiger Grenzwert:
Für welche t gilt nun $ [mm] \limes_{x\rightarrow1-}(1,5x) [/mm] = t/2$?
Hier erhält man genau einen Wert, für den die Funktion auch differenzierbar ist.
Wenn Du diesen t-Wert dann in die Funktionsgleichung eingibst, erhältst Du Deine gesuchte Funktion. Mach auch mal ruhig die Probe.
Ich hoffe, nun kommst Du klar. Sonst einfach rückfragen ...
Grüße Loddar
|
|
|
|
