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Hallo Leute, ich habe ein Problem mit einer Aufgabe.
In welchen Punkten ist die Funktion f stetig bzw. unstetig ?
-x + 1 für x <= -1
a) f = [mm] x^{2} [/mm] + 5x +7 für x [mm] \in [/mm] (-1,0)
[mm] \wurzel{x} [/mm] + 7 für x > 0
b) Bestimmen sie die Grenzwerte
1.) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{4x^{2}+ 2x -1} [/mm] - 2x
2.) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{8x^{3}+2x^{2}+1}{2x^{3}+7x}
[/mm]
zu a) Hier fehlt mir komplett der Ansatz, ich weiß gar nicht, was ich machen soll.
zu b 2.) Der Grenzwert müßte doch eigentlich 1 sein, wenn man sich die größten x betrachtet, oder ?? Reicht das als Begründung ??
zu b 1.) hab ich auch kein Idee
Ich würde mich freuen, wenn mir vielleicht jemand helfen könnte.
Ich danke euch schonmal im Vorraus.
Ich habe diese Frage auf keinen anderen Internetseiten gestellt !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Di 11.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Chironimus!
In welchen Punkten ist die Funktion f stetig bzw. unstetig ?
> -x + 1 für x <= -1
> a) f = $ [mm] x^{2} [/mm] $ + 5x +7 für x $ [mm] \in [/mm] $ (-1,0)
> $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $ + 7 für x > 0
Ein kleiner Tip:
Die Funktion ist in den Intervallen, für die eine Abschnittsfunktion angegeben wurde, stetig. Du musst also lediglich prüfen, ob die Funktion in den Werten $x=-1$ und $x=0$ stetig ist, um die gesamte Aufgabe zu lösen. Dies prüfst du, indem du jeweils den links- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion an den kritischen Punkten $x=-1$ und $x=0$ berechnest und prüfst, ob sie übereinstimmen.
> b) Bestimmen sie die Grenzwerte
> 2.) $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{8x^{3}+2x^{2}+1}{2x^{3}+7x} [/mm] $
Du kannst den Bruch auseinanderziehen. Dann kannst du dir die Summenregel zu Nutze machen und die Grenzwerte der einzelnen Brüche berechnen und erstere am Ende zum Grenzwert des ursprünglichen Bruches addieren. Du wirst allerdings schnell feststellen, dass zwei der drei Brüche den Grenzwert Null für [mm] $x\to \infty$ [/mm] besitzen. Es wird folglich nur noch einer übrig bleiben. Dort kannst du den Zähler als Bruch in den Nenner schreiben [mm] ($\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}$) [/mm] und den Bruch in letzterem auseinanderziehen. Dann kürzt sich wieder einiges weg und du wirst den Grenzwert leicht berechnen können.
Falls du mal ein wenig Zeit hast, kann ich dir empfehlen, den Grenzwert des Bruches zweier beliebiger Polynome mit unbestimmten Koeffizienten zu berechnen. Du wirst feststellen, dass lediglich der Koeffizienten des Glied höchsten Grades eine Rolle spielt. Du kannst dies auch gerne hier machen, wir werden es lesen, kontrollieren und dir eventuell ein wenig unter die Arme greifen!
Bei (1) bin ich selbst noch am Überlegen, ich sehe bisher nur eine LÖsung, die ähnlich der zweiten funktioniert, wobei du vorher allerdings noch mit [mm] $\sqrt{4x^2+2x-1}+2x$ [/mm] erweitern musst.
Ich hoffe ich konnte dir helfen!
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo,
> 1.) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{4x^{2}+ 2x -1}- 2x[/mm]
[mm]\bruch{(\sqrt{{4x^{2}+ 2x -1}}- 2x)(\wurzel{{4x^{2}+ 2x -1}}+ 2x)}{\wurzel{{4x^{2}+ 2x -1}}+ 2x}[/mm]
Ich habs mit dem Ansatz gemacht. Rechne einfach mal ein wenig und du solltest auf das Ergebnis 1/2 kommen.
> 2.) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{8x^{3}+2x^{2}+1}{2x^{3}+7x}
[/mm]
Hier musst du einfach durch die höchste Potenz dividieren, dann solltest du das ergebnis schon haben.
Gruß
Royalbuds
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:41 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Chironimus |
Hallo, zunächst mal Vielen Dank für die rasche Antwort.
Also, nachdem ich eure Ratschläge befolgt habe, kam ich zu dem Schluß, dass
bei Aufgabe 1) die Funktion für -1 unstetig und für 0 stetig ist, da die Grenzwerte für -1 verschieden sind.
Bei Teil 2 bekam ich jetzt nach dem Tipp auch bei a) 1/2 raus, und bei b) 4.
Ist das nun korrekt ???
Mein Problem ist es immer, den richtigen Ansatz zu finden, denn wenn man weiß, was man wirklich machen soll, ist das ganze gar nicht so schwer.
Denn nun hab ich schon wieder 2 Aufgaben, bei denen mir einfach der Ansatz fehlt, und würde mich wieder sehr freuen, wenn ich wieder eure Zeit in Anspruch nehmen darf.
Also, das sind sie 
1) Zeigen sie, das eine reelle Polynomfunktion ungeraden Grades mindestens eine reelle Nullstelle hat .
Wie gesagt, hier fehlt mir mal wieder komplett der Ansatz.
2) Zeigen Sie, dass die Funktion
x, x [mm] \in \IQ
[/mm]
f (x):=
1-x, x [mm] \in \IR\\IQ
[/mm]
nur im Punkte [mm] \bruch{1}{2} [/mm] stetig ist, aber dennoch jeden Wert zwischen
f(0) = 0 und f(1) = 1 annimmt.
Auch hier, fehlt es mir wieder an sämtlichen Enden, da ich ja nicht mit den Grenzwerten argumentieren kann, oder doch ??
Ich würde mich über Ansätze und Lösungsvorschläge seht freuen.
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt !!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Do 13.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> 1) Zeigen sie, das eine reelle Polynomfunktion ungeraden
> Grades mindestens eine reelle Nullstelle hat .
>
> Wie gesagt, hier fehlt mir mal wieder komplett der
> Ansatz.
hier kommt es darauf an, was du verwenden darfst. wenn du den mittelwertsatz zur verfügung hast, so kannst du ja zeigen, dass das polynom für sehr große bzw. sehr kleien $x$, d.h. für $x [mm] \to \infty$ [/mm] bzw. $x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] in verschiedene richtungen über alle schranken wächst.
also aus $P(x) [mm] \to \infty [/mm] $ für $x [mm] \to \infty$ [/mm] folgt $P(x) [mm] \to -\infty$ [/mm] für $x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] und aus $P(x) [mm] \to -\infty [/mm] $ für $x [mm] \to \infty$ [/mm] folgt $P(x) [mm] \to \infty$ [/mm] für $x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty$. [/mm] wenn dir nicht klar ist was ich damit aussagen will betrachte [mm] $P_1(x) [/mm] = [mm] x^3$ [/mm] und [mm] $P_2(x) [/mm] = - [mm] x^3$.
[/mm]
eine andere variante wäre zu zeigen, dass aus [m] P(z_0) = 0 [/m] folgt [m] P(\overline{z_0}) = 0 [/m]. damit treten dann (echt) komplexe nullstellen immer paarweise auf, es gibt also eine gerade anzahl davon. wendest du nun noch den fundamentalsatz der algebra an, so bist du fertig. warum?
> 2) Zeigen Sie, dass die Funktion
> x, x [mm]\in \IQ
[/mm]
> f (x):=
> 1-x, x [mm]\in \IR\\IQ
[/mm]
>
> nur im Punkte [mm]\bruch{1}{2}[/mm] stetig ist, aber dennoch jeden
> Wert zwischen
> f(0) = 0 und f(1) = 1 annimmt.
>
> Auch hier, fehlt es mir wieder an sämtlichen Enden, da ich
> ja nicht mit den Grenzwerten argumentieren kann, oder doch
> ??
betrachte hierzu z.b. dies.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Do 13.01.2005 | | Autor: | Chironimus |
Tut mir Leid, das ich die gleiche Frage gestellt habe.
Vielen Dank für deine Hilfe
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