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| Aufgabe | Man zeige, dass die durch
$f(x) := [mm] \begin{cases}\frac{1}{s},\quad x = \frac{r}{s}, r\in\IZ\textbackslash\{0\},s\in\IN, ggT(r,s)=1\\ 1,\quad x = 0\\0,\quad sonst\end{cases}$
[/mm]
definierte Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] in allen Punkten [mm] $x\in\IR\textbackslash\IQ$ [/mm] stetig und in allen Punkten [mm] $x\in\IQ$ [/mm] unstetig ist. |
Hallo!
Dass die Funktion in allen Punkten [mm] $x\in\IQ$ [/mm] unstetig ist, kann ich begründen, mit unserer Definition von Stetigkeit:
[mm] $f:D\to\IR$ [/mm] stetig in [mm] $x_{0}$ [/mm] genau dann, wenn für jede Folge [mm] $x_{n}\in [/mm] D$ mit [mm] $x_{n}\to x_{0}$ (n\to\infty) [/mm] gilt: [mm] $f(x_{n})\to f(x_{0})$ (n\to\infty)
[/mm]
-------
Denn wähle ich [mm] $x_{0}\in\IQ$, [/mm] dann kann ich eine Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] finden, die nur aus irrationalen Gliedern besteht, aber gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergiert, wie zum Beispiel [mm] $x_{n} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] + [mm] \frac{\sqrt{2}}{n}$. [/mm] Und dann ist:
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_{n}) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}0 [/mm] = 0 [mm] \not= [/mm] 1 = [mm] f(x_{0})$,
[/mm]
da [mm] $f(x_{n}) [/mm] = 0$ für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Ist das so okay?
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So, dann würde jetzt noch fehlen, dass die Funktion für alle [mm] $x_{0}\in\IR\textbackslash \IQ$ [/mm] stetig ist. Also nehme ich jetzt eine beliebige Folge [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_{n}\in\IR$.
[/mm]
Nun bin ich mir aber nicht ganz sicher, wie ich weiter vorgehen soll.
Wir hatten in der Vorlesung, dass jede reelle Zahl durch Grenzwertbildung einer Folge von Dezimalbruchentwicklungen in [mm] \IQ [/mm] entsteht (Konstruktion von [mm] \IR).
[/mm]
Dann könnte ich [mm] $x_{n} [/mm] = [mm] x,d_{1}d_{2}d_{2}...d_{n}$ [/mm] schreiben und hätte [mm] $x_{n} [/mm] = [mm] x+\frac{d_{1}*10^{n-1} + ... + d_{n}*10^{0}}{10^{n}}$. [/mm] Ich könnte dann sagen, dass der Nenner dieser Zahl also immer "größer" wird, und somit [mm] f(x_{n}) [/mm] auch gegen 0 geht.
Aber: Wie kann ich begründen, dass der Nenner immer größer wird? Es könnten sich ja ganz viel rauskürzen (Zähler und Nenner müssen ja teilerfremd sein).
--> Dann hätte ich es für Folgen in [mm] \IQ, [/mm] für Folgen in [mm] \IR [/mm] ist die Aussage ja "trivial". Kann ich die restlichen Folge auf diese beiden Fälle zurückführen?
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Oder kann ich diesen Fall ganz anders beweisen? Wir haben auch das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium zur Verfügung, allerdings schien mir das hier nicht so sinnvoll (?)
Ich freue mich auf Eure Antwort!
Grüße,
Stefan
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Hallo,
bin weiterhin an der Beantwortung der Frage interessier 
Grüße,
Stefan
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Hallo,
> Man zeige, dass die durch
>
> [mm]f(x) := \begin{cases}\frac{1}{s},\quad x = \frac{r}{s}, r\in\IZ\textbackslash\{0\},s\in\IN, ggT(r,s)=1\\ 1,\quad x = 0\\0,\quad sonst\end{cases}[/mm]
>
> definierte Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm] in allen Punkten
> [mm]x\in\IR\textbackslash\IQ[/mm] stetig und in allen Punkten
> [mm]x\in\IQ[/mm] unstetig ist.
> Hallo!
>
> Dass die Funktion in allen Punkten [mm]x\in\IQ[/mm] unstetig ist,
> kann ich begründen, mit unserer Definition von
> Stetigkeit:
>
> [mm]f:D\to\IR[/mm] stetig in [mm]x_{0}[/mm] genau dann, wenn für jede Folge
> [mm]x_{n}\in D[/mm] mit [mm]x_{n}\to x_{0}[/mm] [mm](n\to\infty)[/mm] gilt:
> [mm]f(x_{n})\to f(x_{0})[/mm] [mm](n\to\infty)[/mm]
>
> -------
>
> Denn wähle ich [mm]x_{0}\in\IQ[/mm], dann kann ich eine Folge
> [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] finden, die nur aus irrationalen Gliedern
> besteht, aber gegen [mm]x_{0}[/mm] konvergiert, wie zum Beispiel
> [mm]x_{n} = x_{0} + \frac{\sqrt{2}}{n}[/mm]. Und dann ist:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}f(x_{n}) = \lim_{n\to\infty}0 = 0 \not= 1 = f(x_{0})[/mm],
>
ganz rechts sollte $1/s$ statt 1 stehen, aber die idee stimmt. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> da [mm]f(x_{n}) = 0[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm] Ist das so okay?
>
> -------
>
> So, dann würde jetzt noch fehlen, dass die Funktion für
> alle [mm]x_{0}\in\IR\textbackslash \IQ[/mm] stetig ist. Also nehme
> ich jetzt eine beliebige Folge [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]x_{n}\in\IR[/mm].
>
> Nun bin ich mir aber nicht ganz sicher, wie ich weiter
> vorgehen soll.
> Wir hatten in der Vorlesung, dass jede reelle Zahl durch
> Grenzwertbildung einer Folge von Dezimalbruchentwicklungen
> in [mm]\IQ[/mm] entsteht (Konstruktion von [mm]\IR).[/mm]
>
> Dann könnte ich [mm]x_{n} = x,d_{1}d_{2}d_{2}...d_{n}[/mm]
> schreiben und hätte [mm]x_{n} = x+\frac{d_{1}*10^{n-1} + ... + d_{n}*10^{0}}{10^{n}}[/mm].
> Ich könnte dann sagen, dass der Nenner dieser Zahl also
> immer "größer" wird, und somit [mm]f(x_{n})[/mm] auch gegen 0
> geht.
> Aber: Wie kann ich begründen, dass der Nenner immer
> größer wird? Es könnten sich ja ganz viel rauskürzen
> (Zähler und Nenner müssen ja teilerfremd sein).
>
> --> Dann hätte ich es für Folgen in [mm]\IQ,[/mm] für Folgen in
> [mm]\IR[/mm] ist die Aussage ja "trivial". Kann ich die restlichen
> Folge auf diese beiden Fälle zurückführen?
>
ich wuerde es so probieren:
sei also [mm] $x_0$ [/mm] eine irrationale zahl. du musst nun zeigen, dass zu jedem [mm] $s\in [/mm] N$ es ein eps gibt, so dass alle rationalen zahlen in der eps-umgebung von [mm] x_0 [/mm] mindestens den nenner $s$ haben (nach kuerzen).
versuche doch mal, das mit widerspruch zu beweisen. ich habe jetzt keine zeit, mich damit zu beschaeftigen, bin aber ziemlich sicher, dass das sofunktioniert...
gruss
Matthias
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Danke Matthias,
hab's hinbekommen
Grüße,
Stefan
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