Stetigkeit bei Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mi 13.04.2011 | | Autor: | erze |
| Aufgabe 1 | | Untersuchen Sie die unten stehende Funtionen bei [mm] x_0 [/mm] auf Stetigkeit |
| Aufgabe 2 | | Untersuchen Sie die angegebene Funktion bei X0 auf Stetigkeit. |
kamn mir jemand helfen diese Aufgabe für [mm] x_0=0 [/mm] zu lösen?
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2*cos(\bruch{1}{x}) & \mbox{wenn }x \ne\mbox{ 0} \\
0 & \mbox{wenn }x\mbox{ =0}
\end{matrix}\right. [/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin erze,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Untersuchen Sie die unten stehende Funtionen bei [mm]x_0[/mm] auf
> Stetigkeit
> Untersuchen Sie die angegebene Funktion bei X0 auf
> Stetigkeit.
>
> kamn mir jemand helfen diese Aufgabe für [mm]x_0=0[/mm] zu lösen?
Bestimme rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert der Funktion f für [mm] x\to0+ [/mm] bzw. [mm] x\to0- [/mm] und überprüfe, ob beide mit dem Funktionswert f(0) übereinstimmen.
Beachte dabei [mm] \left|\cos\frac{1}{x}\right|\leq1. [/mm] Der Grenzwert [mm] \lim_{x\to0}x^2 [/mm] sollte klar sein.
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2*cos(\bruch{1}{x}) & \mbox{wenn }x \ne\mbox{ 0} \\
0 & \mbox{wenn }x\mbox{ =0}
\end{matrix}\right.[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Do 14.04.2011 | | Autor: | erze |
Vielen vielen Dank!
Der Prinzip ist mir jetzt klar, aber wie das hier prkatisch gemacht wird?:
Bestimme rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert der Funktion f für cos(1/x)
habe leider nicht durblickt!
Wie siht deiser Vorgand aufgeschrieben aus? dann verstehe ich bestimmt.
Wäre sehr dankbar für die Antwort!
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> Vielen vielen Dank!
> Der Prinzip ist mir jetzt klar, aber wie das hier
> prkatisch gemacht wird?:
> Bestimme rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert der Funktion
> f für cos(1/x)
>
> habe leider nicht durblickt!
>
> Wie siht deiser Vorgand aufgeschrieben aus? dann verstehe
> ich bestimmt.
>
> Wäre sehr dankbar für die Antwort!
Wie bildest du denn einen Grenzwert? Was sollst du in dieser Aufgabe tun? Offenbar ist die Funktion für x [mm] \not= [/mm] 0 kein Problem, da sie aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist. Demzufolge ist die einzige "Problemstelle" die definierte Stelle bei x=0, da dort [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ja nicht definiert ist und die Funktion eine Def-Lücke hätte. Nun ist die Frage: Handelt es sich bei dem Funktionswert x=0 in Verbindung mit dem Rest der Funktion um eine stetige Funktion? Dazu muss der Grenzwert mit dem Funktionswert an dieser identisch sein. Also setze in Gedanken eine Zahl nahe 0 ein, die aber negativ ist (linksseitiger) und danach eine ein, die positiv aber nahe 0 ist (rechtsseitiger).
Was würdest du also für eine Zahl erwarten, wenn du z.B. [mm] -10^{-4} [/mm] in [mm] x^2*cos(\bruch{1}{x}) [/mm] einsetzt. Danach kannst du das mit 0+h für h gegen 0 richtig mathematisch ausdrücken.
Ausgeschrieben wäre das ca:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}(x^2*cos(\bruch{1}{x}))=\limes_{x\rightarrow 0}x^2*\limes_{x\rightarrow 0}cos(\bruch{1}{x})=0*\limes_{x\rightarrow 0}cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
Der zweite Grenzwert existiert zwar nicht, du kannst aber allgemein für die cos-Funktion hier festhalten: [mm] |cos(\bruch{1}{x})| \le [/mm] 1 und damit deinen Grenzwert bestimmen, da das [mm] x^2 [/mm] hier bestimmend ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:23 Fr 15.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Vielen vielen Dank!
> > Der Prinzip ist mir jetzt klar, aber wie das hier
> > prkatisch gemacht wird?:
> > Bestimme rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert der
> Funktion
> > f für cos(1/x)
> >
> > habe leider nicht durblickt!
> >
> > Wie siht deiser Vorgand aufgeschrieben aus? dann verstehe
> > ich bestimmt.
> >
> > Wäre sehr dankbar für die Antwort!
>
> Wie bildest du denn einen Grenzwert? Was sollst du in
> dieser Aufgabe tun? Offenbar ist die Funktion für x [mm]\not=[/mm]
> 0 kein Problem, da sie aus stetigen Funktionen
> zusammengesetzt ist. Demzufolge ist die einzige
> "Problemstelle" die definierte Stelle bei x=0, da dort
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ja nicht definiert ist und die Funktion eine
> Def-Lücke hätte. Nun ist die Frage: Handelt es sich bei
> dem Funktionswert x=0 in Verbindung mit dem Rest der
> Funktion um eine stetige Funktion? Dazu muss der Grenzwert
> mit dem Funktionswert an dieser identisch sein. Also setze
> in Gedanken eine Zahl nahe 0 ein, die aber negativ ist
> (linksseitiger) und danach eine ein, die positiv aber nahe
> 0 ist (rechtsseitiger).
>
> Was würdest du also für eine Zahl erwarten, wenn du z.B.
> [mm]-10^{-4}[/mm] in [mm]x^2*cos(\bruch{1}{x})[/mm] einsetzt. Danach kannst
> du das mit 0+h für h gegen 0 richtig mathematisch
> ausdrücken.
>
> Ausgeschrieben wäre das ca:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}(x^2*cos(\bruch{1}{x}))=\limes_{x\rightarrow 0}x^2*\limes_{x\rightarrow 0}cos(\bruch{1}{x})=0*a[/mm]
> mit a [mm]\le[/mm] 1 aufgrund der Eigenschaft des cos.
Das ist doch Quatsch ! Was soll denn a sein ? Meinst Du [mm] \limes_{x\rightarrow 0}cos(\bruch{1}{x})=a [/mm] ? Der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
existiert nicht !!!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Adamantin |
Das ist mir durchaus bewusst und ich danke für die mathematische Richtigstellung, du hast ihm ja die Lösung ordentlich aufgeschrieben. Ich wollte damit lediglich zum Ausdruck bringen, dass der Grenzwert von [mm] x^2 [/mm] 0 ist und cos auch im Unendlichen zwischen den Werten -1 und 1 bleibt, daher der Grenzwert von [mm] x^2 [/mm] bestimmend ist. Nur schreiben hätte ich das wohl nicht auf diese Weise dürfen, entschuldige ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Fr 15.04.2011 | | Autor: | erze |
Vielen Dank für die Ausführliche Erklärung!
Wie weise ich nach, dass co(1/x) für x->0 keinen Grenzwert hat?
Es gibt nehmelich eine zweite Aufgabe, die genau wie die erste ist, aber ohne [mm] X^2 [/mm] vor dem cos(1/x). Wenn ich für x sehr kleine Werte (positive und negative) einsetze, dann scheint der cos(1/x) zwischen 0 und 1 zu liegen, aber nie genau 0 oder genau 1, es nimmt alle werte ]0;1[
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Fr 15.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Ausführliche Erklärung!
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> Wie weise ich nach, dass co(1/x) für x->0 keinen Grenzwert
> hat?
Sei [mm] x_n:= \bruch{1}{n* \pi}. [/mm] Nun schau Dir mal [mm] cos(1/x_n) [/mm] an.
FRED
> Es gibt nehmelich eine zweite Aufgabe, die genau wie die
> erste ist, aber ohne [mm]X^2[/mm] vor dem cos(1/x). Wenn ich für x
> sehr kleine Werte (positive und negative) einsetze, dann
> scheint der cos(1/x) zwischen 0 und 1 zu liegen, aber nie
> genau 0 oder genau 1, es nimmt alle werte ]0;1[
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Fr 15.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Es geht so (ohne einseitige Grenzwerte):
für x [mm] \ne [/mm] 0 ist $|cos(1/x)| [mm] \le [/mm] 1$, also ist
$|f(x)| [mm] \le x^2$
[/mm]
und daraus folgt sofort: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}f(x)=0=f(0)$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Fr 15.04.2011 | | Autor: | erze |
das ist sehr kurz und deutlich! DANKE!
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