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Stetigkeit beweise: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Sa 18.01.2014
Autor: Alex1993

Guten Morgen, ich hoffe ihr seid gut in den Tag gekommen
Ich verzweifle jetzt schon den ganzen Morgen an folgender Aufgabe:
sei f:[0,1]->[0,1] stetig. Man zeige, dass a Element von [0,1] mit f(a)=a existiert.
Ich soll dazu den Hinweis benutzen, dass g(x)=f(x)-x
Allerdings komme ich nicht weiter, als zu behaupten, dass aufgrund der Stetigkeit ja gilt lim [mm] [0,1]=x_0 [/mm] und lim f[0,1]=lim [1,0] = [mm] x_0 [/mm]
allerdings weiß ich nicht so genau wie ich den gegeben Hinweis mit der Komposition anwenden soll
Kann mir vielleicht jemand von euch weiterhelfen?

LG

        
Bezug
Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 Sa 18.01.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Guten Morgen, ich hoffe ihr seid gut in den Tag gekommen
>  Ich verzweifle jetzt schon den ganzen Morgen an folgender
> Aufgabe:
>  sei f:[0,1]->[0,1] stetig. Man zeige, dass a Element von
> [0,1] mit f(a)=a existiert.
> Ich soll dazu den Hinweis benutzen, dass g(x)=f(x)-x
>  Allerdings komme ich nicht weiter, als zu behaupten, dass
> aufgrund der Stetigkeit ja gilt lim [mm][0,1]=x_0[/mm] und lim
> f[0,1]=lim [1,0] = [mm]x_0[/mm]
>  allerdings weiß ich nicht so genau wie ich den gegeben
> Hinweis mit der Komposition anwenden soll
> Kann mir vielleicht jemand von euch weiterhelfen?
>  
> LG


Guten Tag Alex

Was du mit den Limites von Intervallen meinst, ist
mir nicht klar.
Aber betrachte doch einfach wie vorgeschlagen die
Funktion g mit g(x):=f(x)-x.
Welche Eigenschaften hat g ?
Was kann man über g(0) sagen ?  Was über g(1) ?
Was kann man daraus über Nullstellen von g schließen ?

LG ,   Al-Chwarizmi

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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Sa 18.01.2014
Autor: Alex1993

Hey
danke erstmal :-)
also wenn ich mir g(0) anschaue erhalte ich ja f(0)-0
und für f(0) kommt doch eigentlich nur [0,1] in Frage oder? das heißt ich erhalte entweder g(0)=1-0 oder g(0)=0-0 also g(0)=[1,0]
und für g(1) sieht es ja ähnlich aus g(1)=[0,1]-1= [0,-1]
aber für -1 ist die Funktion ja nicht definiert...ohje
Ich finde es irgendwie schwer die Funktion zu verstehen, wie du wahrscheinlich merkst.Daher tue ich mich auch bei den Nullstellen etwas schwer. Denn für 1-1=0 wird die Funktion =0 aber auch für 0-0

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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Sa 18.01.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Hey
>  danke erstmal :-)
>  also wenn ich mir g(0) anschaue erhalte ich ja f(0)-0
>  und für f(0) kommt doch eigentlich nur [0,1] in Frage
> oder? das heißt ich erhalte entweder g(0)=1-0 oder
> g(0)=0-0 also g(0)=[1,0]     [haee]

Ich befürchte da ein in diesem Zusammenhang ziemlich
schlimmes Missverständnis. Und zwar eines, das fast
nicht sein darf ...
Es scheint, dass du unter [0,1] die Menge verstehst,
die nur aus den beiden Elementen 0 und 1 besteht.
Diese Menge würde man normalerweise so schreiben:

            [mm] $\{\,0\,,\,1\,\}$ [/mm]

In der vorliegenden Aufgabe soll aber [0,1] bestimmt
für das Intervall  $\ [0,1]\ =\ [mm] \{\,x\in\IR\ |\ 0\le x\ \le 1\ \}$ [/mm]  stehen !


>  und für g(1) sieht es ja ähnlich aus g(1)=[0,1]-1=
> [0,-1]
> aber für -1 ist die Funktion ja nicht definiert...ohje
>  Ich finde es irgendwie schwer die Funktion zu verstehen,
> wie du wahrscheinlich merkst.Daher tue ich mich auch bei
> den Nullstellen etwas schwer. Denn für 1-1=0 wird die
> Funktion =0 aber auch für 0-0

Mein Tipp war so zu verstehen: g(0)=f(0) ist eine Zahl
im Intervall [0,1], es gilt also insbesondere [mm] g(0)\ge0 [/mm] .
Zweitens ist g(1)=f(1)-1 eine Zahl, die (weil [mm] 0\le f(1)\le [/mm] 1 und
wegen der Subtraktion von 1 )  im Intervall [-1,0] liegen
muss. Insbesondere gilt also [mm] g(1)\le [/mm] 0 .

LG ,   Al-Chw.


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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:42 Sa 18.01.2014
Autor: Alex1993

du hast recht. jetzt weiß ich auch wo mein Fehler lag.
Wenn ich nun den Zwischenwertsatz zur Begründung nehme, kann ich doch eigentlich schlussfolgern, dass wegen [mm] g(0)\ge [/mm] 0 und [mm] g(1)\le [/mm] 0  g eine Nullstelle besitzt. Und daher auf dem gesamten Intervall [0,1] stetig ist. oder? und da g ja eine Komposition von f ist (oder?) kann ich diese Stetigkeit doch auch auf f beziehen oder?

Danke
LG

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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Sa 18.01.2014
Autor: reverend

Hallo Alex,

> du hast recht. jetzt weiß ich auch wo mein Fehler lag.
>  Wenn ich nun den Zwischenwertsatz zur Begründung nehme,
> kann ich doch eigentlich schlussfolgern, dass wegen [mm]g(0)\ge[/mm]
> 0 und [mm]g(1)\le[/mm] 0  g eine Nullstelle besitzt.

Ja.

> Und daher auf
> dem gesamten Intervall [0,1] stetig ist. oder?

Das ist Schwachsinn. Den ZWS darfst Du doch überhaupt nur anwenden, wenn die Funktion stetig ist. Das musst Du also vorher untersuchen.

> und da g ja
> eine Komposition von f ist (oder?) kann ich diese
> Stetigkeit doch auch auf f beziehen oder?

Hmpf. $g$ ist eine Komposition stetiger Funktionen und ohne Definitionslücken. Also ist $g$ stetig.

> Danke
>  LG

Grüße
rev

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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Sa 18.01.2014
Autor: Alex1993

Also verstehe ich das Richtig?:
Ich nehme an, dass f stetig ist und will diese Annahme bestätigen indem ich zeige, dass g eine Komposition stetiger Abbildungen ist und daher auch stetig ist. Nun habe ich ja dank deiner Hilfe gezeigt, dass g stetig ist und kann daraus auch schlussfolgern das f stetig ist?


LG

Bezug
                                                        
Bezug
Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Sa 18.01.2014
Autor: reverend

Hallo Alex,

> Also verstehe ich das Richtig?:
>  Ich nehme an, dass f stetig ist

Das brauchst Du nicht anzunehmen. In der Aufgabenstellung stand: sei f:[0,1]->[0,1] stetig.

> und will diese Annahme
> bestätigen indem ich zeige, dass g eine Komposition
> stetiger Abbildungen ist und daher auch stetig ist.

Da g(x)=f(x)-x ist, brauchst Du für diesen Schluss doch schon, dass f stetig ist!

> Nun
> habe ich ja dank deiner Hilfe gezeigt, dass g stetig ist

Da war doch außer obigem nichts zu zeigen.

> und kann daraus auch schlussfolgern das f stetig ist?

Das wäre ein Ringschluss: wenn f stetig ist, ist auch g stetig, und darum ist f stetig.
Da stimmt logisch etwas nicht.

Grüße
reverend

Bezug
                                                                
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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Sa 18.01.2014
Autor: Alex1993

hi
okay du hast natürlich recht. Wer lesen kann ist klar im Vorteil
also muss ich ja jetzt zeigen, dass es ein [mm] a\in [/mm] [0,1] gibt mit f(a)=a
aber wie hilft mir die Funktion g dabei?

LG

Bezug
                                                                        
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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Sa 18.01.2014
Autor: fred97


> hi
>  okay du hast natürlich recht. Wer lesen kann ist klar im
> Vorteil
>  also muss ich ja jetzt zeigen, dass es ein [mm]a\in[/mm] [0,1] gibt
> mit f(a)=a
>  aber wie hilft mir die Funktion g dabei?

f(a)=a  [mm] \gdw [/mm] g(a)=0

Zeige also: g hat in [0,1] eine Nullstelle


FRED

>  
> LG


Bezug
                                                                                
Bezug
Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Sa 18.01.2014
Autor: Alex1993

hey Fred,
das g eine Nullstelle hat, haben wir ja aufgrund von [mm] g(1)\le [/mm] 0 und [mm] g(0)\ge [/mm] 0 schon bewiesen. reicht das an dieser Stelle?

LG

Bezug
                                                                                        
Bezug
Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Sa 18.01.2014
Autor: fred97


> hey Fred,
>  das g eine Nullstelle hat, haben wir ja aufgrund von
> [mm]g(1)\le[/mm] 0 und [mm]g(0)\ge[/mm] 0 schon bewiesen. reicht das an
> dieser Stelle?

Ja

FRED

>  
> LG


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