Stetigkeit beweisen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Parkan |
| Aufgabe | g(x)= [mm]x-\left \lfloor x \right \rfloor[/mm] , [mm]x \in \IR[/mm]
Weisen Sie nach das für alle x aus R gilt, g ist genau dann stetig in x, wenn x keine ganze Zahl ist. |
Ich habe mir den Graphen gezeichnet und es ist offensichtlich das g die unstetigkeitsstellen immer nur dann hat wenn [mm]x \in \IZ[/mm]. Aber wie Beweise ich das formell richtig?
Ich habe bischen mit der Induktion rumgespielt aber es ist nichts gescheites rausgekommen.
Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Danke
Janina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mo 23.04.2012 | | Autor: | fred97 |
i> g(x)= [mm]x-\left \lfloor x \right \rfloor[/mm] , [mm]x \in \IR[/mm]
>
> Weisen Sie nach das für alle x aus R gilt, g ist genau
> dann stetig in x, wenn x keine ganze Zahl ist.
>
> Ich habe mir den Graphen gezeichnet und es ist
> offensichtlich das g die unstetigkeitsstellen immer nur
> dann hat wenn [mm]x \in \IZ[/mm]. Aber wie Beweise ich das formell
> richtig?
>
> Ich habe bischen mit der Induktion rumgespielt aber es ist
> nichts gescheites rausgekommen.
>
> Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Nimm mal ein k [mm] \in \IZ [/mm] her.
Wie sieht g aus im Intervall (k,k+1) ? Ist g in diesem Intervall stetig ?
Für die Unstetigkeit in k betrachte
[mm] \limes_{x\rightarrow k+0}g(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow k-0}g(x)
[/mm]
FRED
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> Danke
> Janina
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Parkan |
Hmm ich würde sagen im intervall (k,k+1) ist g stetig, den Teil mit limes verstehe ich ehrlich gesagt garnicht besonders das mit +0, -0
Janina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Parkan |
Kann ich so argumentieren.
Es sein k Element aus Z
Für jedes Interval (k,k+2) ist g in k+1 unstetig da dort ein Sprung ist.
Somit ist g für jedes k unstetig.
Janina
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> Kann ich so argumentieren.
>
> Es sein k Element aus Z
> Für jedes Interval (k,k+2) ist g in k+1 unstetig da dort
> ein Sprung ist.
> Somit ist g für jedes k unstetig.
>
> Janina
>
Überlege doch erst mal, wie $g$ im Intervall $(k,k+1)$ mit [mm] $k\in \mathbb{Z}$ [/mm] aussieht, so wie es fred97 vorgeschlagen hat. Dann schaue dir an, welchen Wert $g(x)$ für die ebenfalls von fred97 vorgeschlagenen Grenzwerte annimmt. Ich nehme mal an, ihr hattet in der Vorlesung einen Satz wie: Eine Funktion ist stetig in $a$, falls links- und rechtsseitiger Grenzwert (das sind genau die Grenzwerte, die fred97 dir geschrieben hat) in $a$ existieren und übereinstimmen. Sollte das nämlich nicht so sein, so erhältst du in der Tat einen "Sprung", du musst das aber vernünftig anhand von Definitionen/Sätzen/Lemmata/wieauchimmer begründen. Es reicht nicht einfach zu behaupten $g$ ist in $k$ unstetig, deshalb ist $g$ für jedes $k$ unstetig (mehr tust du, so wie du es formuliert hast, nämlich nicht). Du hast dadurch nichts bewiesen. Dann könntest du auch gleich schreiben:
Die Funktion ist unstetig, weil ich das sage. [mm] $\square$
[/mm]
Du musst einfach deine Schlüsse vernünftig, also mathematisch begründen, wie auch schon Schachuzipus bemerkt hat. Ein "weil der Graph halt so aussieht" ist keine Begründung.
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Hallo Janina,
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> Hmm ich würde sagen im intervall (k,k+1) ist g stetig,
Und deine Begründung für deine Vermutung?
> den
> Teil mit limes verstehe ich ehrlich gesagt garnicht
> besonders das mit +0, -0
Gemeint ist, dass du den rechts- und linksseitigen Limes der Funktion an so einer ganzzahligen Stelle $k$ betrachten sollst.
>
> Janina
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Parkan |
Weil ich im Graphen keinen Sprung sehe wenn ich nur einen intervall (k,k+1) anschaue.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Weil ich im Graphen keinen Sprung sehe wenn ich nur einen
> intervall (k,k+1) anschaue.
und wenn ich alt und schwach werde und fast blind bin, sehe ich das nicht mehr. Schreibe es doch mal sauber auf:
Sei $k [mm] \in \IZ\$ [/mm] und $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Dann ist genau dann [mm] $[x]=k\,,$ [/mm] wenn $x [mm] \in [k,k+1)\,.$ [/mm] (Warum? Alles wichtige für die "interessante Beweisrichtung" findest Du etwa unten!) Insbesondere gilt also [mm] $[x]=k\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in (k,k+1)\,.$
[/mm]
Also folgt [mm] $g(x)=x-[x]=x-k\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in (k,k+1)\,.$ [/mm] (Das gilt sogar für alle $x [mm] \in [k,k+1)\,.$)
[/mm]
Anders gesagt:
Es gilt [mm] $g_{|[k,k-1)}$ [/mm] ist gegeben durch [mm] $g_{|[k,k-1)}(x)=x-k\,.$ [/mm] Warum ist diese (eingeschränkte) Funktion (für jedes beliebige, aber feste $k [mm] \in \IZ$) [/mm] offenbar stetig?
Und weiter:
Damit kannst Du Dir auch mal überlegen, wie der rechtsseitige Grenzwert von [mm] $g\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x=k\,$ [/mm] aussieht (also $k < x [mm] \to [/mm] k$ laufen lassen).
Außerdem siehst Du damit auch:
Für alle $x [mm] \in [/mm] [k-1,k)$ gilt [mm] $g(x)=x-[x]=x-[x]=x-(k-1)=x-k+1\,.$ [/mm] Wie sieht nun der linksseitige Grenzwert an der Stelle [mm] $x=k\,$ [/mm] aus (d.h. $k > x [mm] \to [/mm] k$ laufen lassen).
P.S.
Man kann es sich hier auch noch ein wenig "einfacher" machen und erklären (also begründen), dass [mm] $g\,$ [/mm] nichts anderes als die [mm] $1\,$-periodische [/mm] Fortsetzung von [mm] $g_{|[0,1)}$ [/mm] ist - und meinetwegen wirklich sogar mit dem Graphen dann erläutern, warum [mm] $g\,$ [/mm] auf [mm] $[0,1)\,$ [/mm] stetig ist und warum diese so periodisch fortgesetzte Funktion dann an allen $z [mm] \in \IZ$ [/mm] unstetig ist. Aber sauber aufschreiben muss man es dennoch, auch, "wenn dieser [mm] "$\infty$-parallele-Balken-Graph" [/mm] das offensichtlich erscheinen läßt":
Das, was man sieht, sollte eigentlich nicht (zu) umständlich in eine korrekte mathematische Sprache übersetzbar sein! Und in dieser Sprache muss dann jeder Schluss logisch nachvollziehbar sein:
Zum Beispiel zeigt der Graph doch folgende Idee:
""Scheinbar" gilt für jedes $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] dass $x-[x] [mm] \in [0,1)\,.$"
[/mm]
Wir lassen diesen Schein in einem neuen Glanz auftreten:
Sei $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Mit [mm] $k=k(x):=[x]=\max\{z \in \IZ: z \le x\}$ [/mm] folgt $k [mm] \le [/mm] x$ und $k [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Wir behaupten $x < [mm] k+1\,$:
[/mm]
Wäre nämlich $x [mm] \ge k+1\,,$ [/mm] so müßte wegen $k+1 > k$ und $k+1 [mm] \in \IZ$ [/mm] dann $[x] [mm] \ge [/mm] k+1$ sein, also $[x]=k [mm] \ge [/mm] k+1 -$ was ja offensichtlicher Unfug und damit ein Widerspruch ist.
Also folgt $[x]=k [mm] \le [/mm] x < [mm] k+1=[x]+1\,.$ [/mm] Daraus insgesamt $0 [mm] \le [/mm] x-k=x-[x] [mm] <1\,,$ [/mm] also die Behauptung.
Gruß,
Marcel
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